大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)t = ?12.5

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 45 km/ha = −6.5 m/s²v = 0
t = s
2.运动学困难
v₀ = 14 m/s25 m

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求小球离地面的最大高度 hmax。

v₀ = 14 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²
hmax = m
3.牛顿定律中等
θ = 25°a = ?m = 18 kg

一个 18 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 18 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 4.5 kg3 kgμ = 0.2

水平桌面上一个 4.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 4.5 kgm2 = 3 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
v0​ = 24 m/s25°射程H = ?

一个球 从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v0 = 24 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²
H = m
6.抛体运动困难
27 mv0​ = 33 m/s70°x = ?

一个球从地面以 33 m/s、与水平方向成 70° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 27 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 33 m/sθ = 70°hroof = 27 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.功和能中等
30°d = 6 mμ = 0.35

一个 5 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 6 m，动摩擦因数为 0.35。求克服摩擦做的功 Wf。

m = 5 kgθ = 30°μ = 0.35d = 6 mg = 9.81 m/s²
Wf = J
8.功和能困难
h = 2 mL = 2 mμ = 0.3k = 5000 N/m

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。 求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 5 kgh = 2 mL = 2 mμ = 0.3k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²
v = m/s
9.动量与碰撞中等
2 kg30 m/s7 kgv′2​ = ?

一个以 20 m/s 水平运动的 9 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。2 kg 的碎片以 30 m/s 继续向前运动。求 7 kg 碎片的速度 v′2（以原运动方向为正）。

M = 9 kgu = 20 m/sm1 = 2 kgv′1 = 30 m/sm2 = 7 kg
v′2 = m/s
10.动量与碰撞困难
9 m/s20 m/s

一个 0.3 kg 的小球以 9 m/s 撞到墙上，并以 20 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.3 kgvin = 9 m/svout = 20 m/sΔt = 5 ms
Favg = N
11.静水压力中等
闸门d = 2.5 mH = 2.5 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 4 mH = 1.5 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 75 mm, p1​ = 400 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 400 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 400 kPav1 = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.连续性和伯努利困难
H = ?d1​ = 50 mmp1​ = 80 kPad2​ = 20 mm

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 50 mm，表压为 80 kPa。喷嘴出口直径为 20 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d1 = 50 mmp1 = 80 kPa (表压)d2 = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
15.理想气体定律中等
190 g ArP = 100 kPaT = 70 °CV = ?

190 g Ar在 100 kPa 和 70 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 190 gM = 39.95 g/molP = 100 kPaT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
16.理想气体定律困难
CH₄, M = 16.04 g/molP = 1000 kPaT = 160 °Cρ = ?

按理想气体处理，求CH₄在 1000 kPa 和 160 °C 下的密度 ρ。

M = 16.04 g/molP = 1000 kPaT = 160 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
17.热机和制冷机中等
TH​ = 850 °CTL​ = 35 °CEQH​QL​η = 29%

一台热机从 850 °C 的热源吸热，向 35 °C 的环境放热。其实际热效率为 29%。求其第二定律效率 ηII，即实际效率与卡诺效率之比。

TH = 850 °CTL = 35 °Cη = 29%
ηII = %
18.热机和制冷机困难
TH​ = 55 °CTL​ = 5 °CHPQ̇H​ = 4 kWQ̇L​Ẇ = ?

一台热泵从 5 °C 的热源吸热，向 55 °C 的供暖系统提供 4 kW 的热量。其实际 COP 为这两个温度之间卡诺 COP 的 50%。求它消耗的电功率 Ẇ。

TH = 55 °CTL = 5 °CηII = 50%Q̇H = 4 kW
Ẇ = kW
19.波、声与光学中等
L = ?n = 5

一端封闭的管的第 5 次谐波必须为 536 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 5f5 = 536 Hz
L = m
20.波、声与光学困难
λ = 500 nma = 0.15 mmL = 3 m

波长为 500 nm 的光通过一条宽 0.15 mm 的单缝。求 3 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 500 nma = 0.15 mmL = 3 m
w = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 1.923 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 12.5/6.5 = 1.923 s

答案

t = 1.923 s
2.运动学

答案: hmax = 34.99 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 14²/(2·9.81) = 9.99 m

离地面的高度

hmax = 25 + 9.99 = 34.99 m

答案

hmax = 34.99 m
3.牛顿定律

答案: a = 1.923 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.25·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2266) = 1.923 m/s²

答案

a = 1.923 m/s²
4.牛顿定律

答案: a = 2.747 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (29.43 − 8.829)/7.5 = 2.747 m/s²

答案

a = 2.747 m/s²
5.抛体运动

答案: H = 5.243 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 24·cos 25° = 21.75 m/s
vy = v0·sin θ = 24·sin 25° = 10.14 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：vy² = 2gH。

H = vy²/(2g) = 10.14²/(2·9.81) = 5.243 m

答案

H = 5.243 m
6.抛体运动

答案: x = 59.59 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

vx = 11.29 m/s, vy = 31.01 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

27 = 31.01·t − 4.905·t²
t = (31.01 + √(31.01² − 2·9.81·27))/9.81 = 5.279 s

水平距离

x = vx·t = 11.29·5.279 = 59.59 m

答案

x = 59.59 m
7.功和能

答案: Wf = 89.2 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.866 = 42.48 N
F = μN = 0.35·42.48 = 14.87 N

克服摩擦做的功

Wf = F·d = 14.87·6 = 89.2 J

答案

Wf = 89.2 J
8.功和能

答案: v = 5.241 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(2 − 0.3·2) = 68.67 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.4) = 5.241 m/s

答案

v = 5.241 m/s
9.动量与碰撞

答案: v′2 = 17.14 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 9·20 = 180 kg·m/s

碰撞后的动量

180 = 2·30 + 7·v′2
v′2 = (180 − 60)/7 = 17.14 m/s

答案

v′2 = 17.14 m/s
10.动量与碰撞

答案: Favg = 1740 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.3·(20 + 9) = 8.7 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 8.7/0.005 = 1740 N

答案

Favg = 1740 N
11.静水压力

答案: F = 91.97 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
闸门d = 2.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.75·2.5 = 91.97 kN

答案

F = 91.97 kN
12.静水压力

答案: F = 132.1 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
闸门d = 4 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·4.75·2.25 = 132.1 kN

答案

F = 132.1 kN
13.连续性和伯努利

答案: p2 = 387.3 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.5·(75/50)² = 5.625 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.5² − 5.625²)/1000 = −12.7 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 400 + (−12.7) = 387.3 kPa

答案

p2 = 387.3 kPa
14.连续性和伯努利

答案: H = 8.369 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

出口流速

β = 20/50 = 0.4
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·80000/(1000·0.9744)) = 12.81 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v2²/(2g) = 12.81²/(2·9.81) = 8.369 m

答案

H = 8.369 m
15.理想气体定律

答案: V = 135.7 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 190/39.95 = 4.756 mol
T = 70 + 273.15 = 343.1 K

体积

V = nRT/P = 4.756·8.314·343.1/100 = 135.7 L

答案

V = 135.7 L
16.理想气体定律

答案: ρ = 4.454 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 160 + 273.15 = 433.1 K

密度

ρ = 1000·16.04/(8.314·433.1) = 4.454 kg/m³

答案

ρ = 4.454 kg/m³
17.热机和制冷机

答案: ηII = 39.96 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 850 + 273.15 = 1123 K
TL = 35 + 273.15 = 308.1 K

卡诺效率

ηCarnot = 1 − 308.1/1123 = 72.56 %

第二定律效率

ηII = η/ηCarnot = 29/72.56 = 39.96 %

答案

ηII = 39.96 %
18.热机和制冷机

答案: Ẇ = 1.219 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 55 + 273.15 = 328.1 K
TL = 5 + 273.15 = 278.1 K

卡诺 COP 和实际 COP

COPmax = 328.1/(328.1 − 278.1) = 6.563
COP = 0.5·6.563 = 3.281

输入功率

Ẇ = Q̇H/COP = 4/3.281 = 1.219 kW

答案

Ẇ = 1.219 kW
19.波、声与光学

答案: L = 0.7999 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/536 = 0.6399 m

长度

L = nλ/4 = 5·0.6399/4 = 0.7999 m

答案

L = 0.7999 m
20.波、声与光学

答案: w = 20 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 500 × 10⁻⁹·3/(0.15 × 10⁻³) = 10 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 20 mm

答案

w = 20 mm

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