大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 72 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.5 s，之后汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 72 km/ht_r = 1.5 sa = −7 m/s²

d = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 40 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。发射后多长时间它落到地面？求 t。

a = 40 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 8.5 kg 和 6.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 6.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1 kgm₂ = 1 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 16 m/s、与水平方向成 30° 的角度朝 18 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 16 m/sθ = 30°x = 18 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 17 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 2 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 17 m/sθ = 65°h_roof = 2 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 80 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.4。求制动距离 d。

v = 80 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²

d = m

8.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 4 mL = 2.5 mμ = 0.2k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 23 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 1 kgh = 23 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.动量与碰撞困难

一辆 1100 kg 的汽车撞上一辆停放的 900 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 11.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1100 kgm₂ = 900 kgd = 11.5 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 25 mm。宽段压强为 310 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 310 kPav₁ = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 75 mm，表压为 70 kPa。喷嘴出口直径为 40 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d₁ = 75 mmp₁ = 70 kPa (表压)d₂ = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.理想气体定律中等

容积为 30 L 的容器中装有 240 g N₂，温度为 65 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 240 gM = 28.01 g/molV = 30 LT = 65 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的Ar从 400 kPa、20 L、10 °C 变化到 500 kPa 和 190 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 400 kPaV₁ = 20 LT₁ = 10 °CP₂ = 500 kPaT₂ = 190 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 575 °C 的高温热源和 35 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 575 °CT_L = 35 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台热机每个循环从 900 °C 的热源吸收 3400 kJ 热量，产生 1530 kJ 的功，其余热量排向 15 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 S_gen。

T_H = 900 °CT_L = 15 °CQ_H = 3400 kJW = 1530 kJ

S_gen = kJ/K

19.波、声与光学中等

观察者以 15 m/s 的速度远离频率为 300 Hz 的静止声源运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 300 Hzv = 343 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 30 cm 的凹面镜前 12 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 12 cmR = 30 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: d = 58.57 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 20·1.5 = 30 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·7) = 28.57 m

合计

d = 30 + 28.57 = 58.57 m

答案

d = 58.57 m

2.运动学

答案: t = 19.26 s

动力阶段

v₁ = 40·2 = 80 m/s

h₁ = ½·40·2² = 80 m

落回地面的自由飞行

解 −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²，取正根。

t₂ = (80 + √(80² + 2·9.81·80))/9.81 = 17.26 s

t = 2 + 17.26 = 19.26 s

答案

t = 19.26 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.308 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (8.5 − 6.5)·9.81/(8.5 + 6.5) = 1.308 m/s²

答案

a = 1.308 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 6.131 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9.81 − 2.453)/2 = 3.679 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·3.679 + 2.453 = 6.131 N

答案

T = 6.131 N

5.抛体运动

答案: y = 2.115 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 16·cos 30° = 13.86 m/s

t = x/v_x = 18/13.86 = 1.299 s

此时的高度

y = 8·1.299 − ½·9.81·1.299² = 2.115 m

答案

y = 2.115 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: x = 21.59 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 7.185 m/s, v_y = 15.41 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

2 = 15.41·t − 4.905·t²

t = (15.41 + √(15.41² − 2·9.81·2))/9.81 = 3.005 s

水平距离

x = v_x·t = 7.185·3.005 = 21.59 m

答案

x = 21.59 m

7.功和能

答案: d = 62.92 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 80/3.6 = 22.22 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 22.22²/(2·0.4·9.81) = 62.92 m

答案

d = 62.92 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: x = 37.06 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(4 − 0.2·2.5) = 68.67 J

最大压缩量

½kx² = 68.67 → x = √(2·68.67/1000) = 0.3706 m = 37.06 cm

答案

x = 37.06 cm

9.动量与碰撞

答案: v = 267.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.23) = 2.124 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 1)·2.124/0.008 = 267.7 m/s

答案

v = 267.7 m/s

10.动量与碰撞

答案: v₁ = 21.15 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·11.5) = 11.64 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2000·11.64/1100 = 21.15 m/s

答案

v₁ = 21.15 m/s

(76.16 km/h)

11.静水压力

答案: F = 58.86 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·3 = 58.86 kN

答案

F = 58.86 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.818 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.75·3 = 71.22 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.75 + 0.5625/(2.75·3) = 2.818 m

答案

y_cp = 2.818 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 300 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(75/25)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 4.5²)/1000 = −10 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 310 + (−10) = 300 kPa

答案

p₂ = 300 kPa

14.连续性和伯努利

答案: H = 7.764 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

出口流速

β = 40/75 = 0.5333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·70000/(1000·0.9191)) = 12.34 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v₂²/(2g) = 12.34²/(2·9.81) = 7.764 m

答案

H = 7.764 m

15.理想气体定律

答案: P = 803 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 240/28.01 = 8.568 mol

T = 65 + 273.15 = 338.1 K

压强

P = nRT/V = 8.568·8.314·338.1/0.03 = 803 kPa

答案

P = 803 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 26.17 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 283.1 K, T₂ = 463.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(400/500)·(463.1/283.1) = 26.17 L

答案

V₂ = 26.17 L

17.热机和制冷机

答案: η_max = 63.67 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 575 + 273.15 = 848.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308.1/848.1 = 63.67 %

答案

η_max = 63.67 %

18.热机和制冷机

答案: S_gen = 3.591 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 Q_H/T_H，低温热源得到 Q_L/T_L。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

Q_L = Q_H − W = 3400 − 1530 = 1870 kJ

绝对温度

T_H = 900 + 273.15 = 1173 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

热源的熵变

ΔS_H = −3400/1173 = −2.898 kJ/K

ΔS_L = 1870/288.1 = 6.49 kJ/K

S_gen = 6.49 − 2.898 = 3.591 kJ/K

答案

S_gen = 3.591 kJ/K

S_gen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: f′ = 286.9 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 300·(343 − 15)/(343 + 0)

f′ = 286.9 Hz

答案

f′ = 286.9 Hz

20.波、声与光学

答案: d_i = −60 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 15 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/12

d_i = −60 cm

光线图

镜后的虚像

答案

d_i = −60 cm

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