大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 3.25 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1400 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 3.25 m/s²s = 1400 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 14 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

质量为 7 kg 和 2.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 7 kgm₂ = 2.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 3 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 10 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 35 m/sθ = 15°h = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一个 0.2 kg 的球挂在长 0.8 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 70°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 0.2 kgL = 0.8 mθ = 70°g = 9.81 m/s²

T = N

8.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 4 mL = 5 mμ = 0.2k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 1 kg 滑块与一个静止的 3 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1 kgm₂ = 3 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 5 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.4 kgv_in = 11 m/sv_out = 5 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 4 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 100 mm，喉部直径 50 mm。入口处的压强比喉部高 46 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ − p₂ = 46 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 75 mm，表压为 140 kPa。喷嘴出口直径为 25 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d₁ = 75 mmp₁ = 140 kPa (表压)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.理想气体定律中等

110 g N₂在 750 kPa 和 75 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 110 gM = 28.01 g/molP = 750 kPaT = 75 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的CH₄从 300 kPa、2 L、20 °C 变化到 600 kPa 和 200 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 300 kPaV₁ = 2 LT₁ = 20 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 200 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 200 °C 的高温热源和 15 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 200 °CT_L = 15 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 35 °C 的厨房中将冷藏室保持在 5 °C，以 2 kW 从冷藏室移走热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 35 °CT_L = 5 °CQ̇_L = 2 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

观察者以 20 m/s 的速度远离频率为 600 Hz 的静止声源运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 600 Hzv = 343 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

波长为 450 nm 的光通过一条宽 0.12 mm 的单缝。求 2 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 450 nma = 0.12 mmL = 2 m

w = mm

3溶液

1.运动学

答案: v = 95.39 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·3.25·1400) = 95.39 m/s

答案

v = 95.39 m/s

(343.4 km/h)

2.运动学

答案: h_max = 39.99 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 14²/(2·9.81) = 9.99 m

离地面的高度

h_max = 30 + 9.99 = 39.99 m

答案

h_max = 39.99 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.647 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (7 − 2.5)·9.81/(7 + 2.5) = 4.647 m/s²

答案

a = 4.647 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 4.765 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 5.886)/7 = 4.765 m/s²

答案

a = 4.765 m/s²

5.抛体运动

答案: H = 3.42 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 55° = 5.736 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 55° = 8.192 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 8.192²/(2·9.81) = 3.42 m

答案

H = 3.42 m

6.抛体运动

答案: t = 3.75 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 15° = 33.81 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 15° = 9.059 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 9.059·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.059 + √(82.06 + 686.7))/9.81 = 3.75 s

答案

t = 3.75 s

7.功和能

答案: T = 4.544 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.8·(1 − cos 70°) = 10.33 m²/s²

最低点的受力

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

T = mg + mv²/L = 1.962 + 0.2·10.33/0.8 = 4.544 N

答案

T = 4.544 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 4.544 N。

8.功和能

答案: v = 7.672 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(4 − 0.2·5) = 14.71 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3) = 7.672 m/s

答案

v = 7.672 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = 3 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1 − 3)/(1 + 3)·6 = −3 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 3)·6 = 3 m/s

答案

v′₂ = 3 m/s

10.动量与碰撞

答案: J = 6.4 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(5 + 11) = 6.4 N·s

答案

J = 6.4 N·s

11.静水压力

答案: F = 66.22 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·1.5 = 66.22 kN

答案

F = 66.22 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 4.519 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·1 = 44.15 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0.08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.5 + 0.08333/(4.5·1) = 4.519 m

答案

y_cp = 4.519 m

13.连续性和伯努利

答案: Q = 19.45 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(50/100)² = 0.25·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·46000/(1000·(1 − 0.0625))) = 9.906 m/s

v₁ = 2.477 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.001963·9.906 = 0.01945 m³/s = 19.45 L/s

答案

Q = 19.45 L/s

14.连续性和伯努利

答案: H = 14.45 m

出口流速

β = 25/75 = 0.3333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·140000/(1000·0.9877)) = 16.84 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v₂²/(2g) = 16.84²/(2·9.81) = 14.45 m

答案

H = 14.45 m

15.理想气体定律

答案: V = 15.16 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 110/28.01 = 3.927 mol

T = 75 + 273.15 = 348.1 K

体积

V = nRT/P = 3.927·8.314·348.1/750 = 15.16 L

答案

V = 15.16 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 1.614 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 293.1 K, T₂ = 473.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(300/600)·(473.1/293.1) = 1.614 L

答案

V₂ = 1.614 L

17.热机和制冷机

答案: η_max = 39.1 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 200 + 273.15 = 473.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/473.1 = 39.1 %

答案

η_max = 39.1 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.2157 kW

绝对温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 278.1/(308.1 − 278.1) = 9.272

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 2/9.272 = 0.2157 kW

答案

Ẇ_min = 0.2157 kW

19.波、声与光学

答案: f′ = 565 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 600·(343 − 20)/(343 + 0)

f′ = 565 Hz

答案

f′ = 565 Hz

20.波、声与光学

答案: w = 15 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 450 × 10⁻⁹·2/(0.12 × 10⁻³) = 7.5 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 15 mm

答案

w = 15 mm

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