大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 100 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 18 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 18 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 45 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 40° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 45 kgθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

倾角为 40° 的斜面上有一个 2 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 8.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 2 kgm₂ = 8.5 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 38 m/s 抛出，必须落在 90 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 38 m/sR = 90 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 17 m/sθ = 55°h = 60 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。求它沿斜面滑行 7 m 后的速度 v。

θ = 35°μ = 0.25d = 7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.功和能困难

一辆 2 kg 的小车从光滑轨道上 13.5 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 3 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 2 kgh = 13.5 mR = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一辆以 19 m/s 行驶的 800 kg 汽车撞上一辆静止的 1200 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 800 kgv₁ = 19 m/sm₂ = 1200 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 12 m/s 向东行驶的 1000 kg 汽车与一辆以 8 m/s 向北行驶的 1000 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1000 kgv₁ = 12 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 8 m/s (N)

v′ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 100 mm，喉部直径 50 mm。入口处的压强比喉部高 40 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ − p₂ = 40 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 40 mm，同时升高 6 m。截面 1 处压强为 150 kPa，流速为 1.25 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 150 kPav₁ = 1.25 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

370 g He在 400 kPa 和 95 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 370 gM = 4.003 g/molP = 400 kPaT = 95 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求He在 650 kPa 和 170 °C 下的密度 ρ。

M = 4.003 g/molP = 650 kPaT = 170 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机从 300 °C 的热源吸热，向 40 °C 的环境放热。其实际热效率为 34%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 300 °CT_L = 40 °Cη = 34%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 25 °C 的厨房中将冷藏室保持在 4 °C，以 1 kW 从冷藏室移走热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 25 °CT_L = 4 °CQ̇_L = 1 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

两端固定的弦的第 4 次谐波必须为 300 Hz；波在其上以 180 m/s 传播。求其长度 L。

v = 180 m/sn = 4f₄ = 300 Hz

L = m

20.波、声与光学困难

波长为 600 nm 的光通过一条宽 0.15 mm 的单缝。求第 2 条暗条纹偏离直进方向的角度 θ₂。

λ = 600 nma = 0.15 mmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.运动学

答案: t = 6.944 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27.78/4 = 6.944 s

答案

t = 6.944 s

2.运动学

答案: t = 4.744 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−25 = 18·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 18·t − 25 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (18 + √(18² + 2·9.81·25))/9.81 = 4.744 s

答案

t = 4.744 s

3.牛顿定律

答案: F = 385.2 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 283.8 + 101.5 = 385.2 N

答案

F = 385.2 N

4.牛顿定律

答案: a = 6.454 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 83.39 N

m₁·g·sin θ = 12.61 N

μ·m₁·g·cos θ = 3.006 N

系统的加速度

a = (83.39 − 12.61 − 3.006)/10.5 = 6.454 m/s²

答案

a = 6.454 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 18.85 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·90/38² = 0.6114

相角

2θ = 37.69° → θ = 18.85°

答案

θ = 18.85°

另一个解为 90° − θ = 71.15°。

6.抛体运动

答案: x = 50.65 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 55° = 9.751 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 55° = 13.93 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 60 + 13.93·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.93 + √(193.9 + 1177))/9.81 = 5.194 s

水平距离

x = v_x·t = 9.751·5.194 = 50.65 m

答案

x = 50.65 m

7.功和能

答案: v = 7.117 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·7·(0.5736 − 0.25·0.8192)) = 7.117 m/s

答案

v = 7.117 m/s

8.功和能

答案: v = 12.13 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(13.5 − 6) = 147.2 m²/s²

v = 12.13 m/s

答案

v = 12.13 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

9.动量与碰撞

答案: ΔK = 86640 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 800·19/2000 = 7.6 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·800·19² = 144400 J

K_after = ½·2000·7.6² = 57760 J

损失的能量

ΔK = 144400 − 57760 = 86640 J

答案

ΔK = 86640 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: v′ = 7.211 m/s

动量分量

p_x = 1000·12 = 12000 kg·m/s

p_y = 1000·8 = 8000 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 14422/2000 = 7.211 m/s

答案

v′ = 7.211 m/s

11.静水压力

答案: F = 183.9 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·5 = 183.9 kN

答案

F = 183.9 kN

12.静水压力

答案: F = 77.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3·3 = 77.7 kN

答案

F = 77.7 kN

13.连续性和伯努利

答案: Q = 18.14 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(50/100)² = 0.25·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·40000/(1000·(1 − 0.0625))) = 9.238 m/s

v₁ = 2.309 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.001963·9.238 = 0.01814 m³/s = 18.14 L/s

答案

Q = 18.14 L/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 61.4 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(100/40)² = 7.813 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 7.813²)/1000 = −29.74 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 150 + (−29.74) − 58.86 = 61.4 kPa

答案

p₂ = 61.4 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 707.3 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 370/4.003 = 92.43 mol

T = 95 + 273.15 = 368.1 K

体积

V = nRT/P = 92.43·8.314·368.1/400 = 707.3 L

答案

V = 707.3 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 0.7062 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 170 + 273.15 = 443.1 K

密度

ρ = 650·4.003/(8.314·443.1) = 0.7062 kg/m³

答案

ρ = 0.7062 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_II = 74.95 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 313.1/573.1 = 45.36 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 34/45.36 = 74.95 %

答案

η_II = 74.95 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.07577 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = 4 + 273.15 = 277.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 277.1/(298.1 − 277.1) = 13.2

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 1/13.2 = 0.07577 kW

答案

Ẇ_min = 0.07577 kW

19.波、声与光学

答案: L = 1.2 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 180/300 = 0.6 m

长度

L = nλ/2 = 4·0.6/2 = 1.2 m

答案

L = 1.2 m

20.波、声与光学

答案: θ₂ = 0.4584 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

暗条纹条件

sin θ = mλ/a = 0.008

θ = 0.4584°

答案

θ₂ = 0.4584°

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