大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 60 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 7 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 7 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 6 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 6 kgθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 1.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 4 kgθ = 20°μ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 36 m/s 抛出，必须落在 90 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 36 m/sR = 90 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶部以 22 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 22 m/sθ = 20°h = 30 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.功和能中等

一辆 1800 kg 的汽车以恒定的 36 km/h 驶上 2° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 450 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1800 kgθ = 2°F_r = 450 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 2.5 mL = 3.5 mμ = 0.2k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 25 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 5 kgh = 25 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.25 kg 的小球以 19 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.25 kgv_in = 19 m/sv_out = 19 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 300 mm，喉部直径 150 mm。入口处的压强比喉部高 14 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 14 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

一个水平文丘里流量计（入口 200 mm，喉部 150 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 350 mm。流量系数为 0.98。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmΔh = 350 mmC_d = 0.98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

容积为 10 L 的容器中装有 330 g N₂，温度为 35 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 330 gM = 28.01 g/molV = 10 LT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的O₂从 150 kPa、5 L、25 °C 变化到 750 kPa 和 190 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 150 kPaV₁ = 5 LT₁ = 25 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 190 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机从 550 °C 的热源吸热，向 25 °C 的环境放热。其实际热效率为 35%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 550 °CT_L = 25 °Cη = 35%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 2 °C 时将房屋保持在 21 °C，向房屋提供 10 kW 热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 21 °CT_L = 2 °CQ̇_H = 10 kW

COP_max =

19.波、声与光学中等

两端开口的管长 1 m。声速为 343 m/s。求其第 3 次谐波的频率 f₃。

v = 343 m/sn = 3L = 1 m

f₃ = Hz

20.波、声与光学困难

波长为 633 nm 的光照射到相距 0.15 mm 的两条缝上。屏距离缝 1.5 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 633 nmd = 0.15 mmL = 1.5 m

Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 17.36 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·8) = 17.36 m

答案

s = 17.36 m

2.运动学

答案: t = 2.602 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 7·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 7·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (7 + √(7² + 2·9.81·15))/9.81 = 2.602 s

答案

t = 2.602 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.427 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.25·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1915) = 4.427 m/s²

答案

a = 4.427 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 14.36 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 39.24 N

m₁·g·sin θ = 5.033 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (39.24 − 5.033 − 0)/5.5 = 6.219 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 4·(9.81 − 6.219) = 14.36 N

答案

T = 14.36 N

5.抛体运动

答案: θ = 21.47 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·90/36² = 0.6813

相角

2θ = 42.94° → θ = 21.47°

答案

θ = 21.47°

另一个解为 90° − θ = 68.53°。

6.抛体运动

答案: v = 32.75 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 22·cos 20° = 20.67 m/s

v_y0 = 22·sin 20° = 7.524 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(7.524² + 2·9.81·30) = 25.4 m/s

落水速度

v = √(20.67² + 25.4²) = 32.75 m/s

答案

v = 32.75 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.功和能

答案: P = 10.66 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1800·9.81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 2° = 616.3 N

F = 616.3 + 450 = 1066 N

功率

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 1066·10 = 10663 W = 10.66 kW

答案

P = 10.66 kW

8.功和能

答案: x = 30.69 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(2.5 − 0.2·3.5) = 70.63 J

最大压缩量

½kx² = 70.63 → x = √(2·70.63/1500) = 0.3069 m = 30.69 cm

答案

x = 30.69 cm

9.动量与碰撞

答案: v = 740.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.25) = 2.215 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 5)·2.215/0.015 = 740.5 m/s

答案

v = 740.5 m/s

10.动量与碰撞

答案: J = 9.5 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.25·(19 + 19) = 9.5 N·s

答案

J = 9.5 N·s

11.静水压力

答案: F = 64.38 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·3.75 = 64.38 kN

答案

F = 64.38 kN

12.静水压力

答案: F = 500.6 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4.5·9 = 500.6 kN

答案

F = 500.6 kN

13.连续性和伯努利

答案: Q = 96.58 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(150/300)² = 0.25·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·14000/(1000·(1 − 0.0625))) = 5.465 m/s

v₁ = 1.366 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.01767·5.465 = 0.09658 m³/s = 96.58 L/s

答案

Q = 96.58 L/s

14.连续性和伯努利

答案: Q = 194.8 L/s

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.35 = 43262 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 150/200 = 0.75

v₂ = √(2·43262/(1000·(1 − 0.3164))) = 11.25 m/s

实际流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.98·0.01767·11.25 = 0.1948 m³/s = 194.8 L/s

答案

Q = 194.8 L/s

15.理想气体定律

答案: P = 3018 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 330/28.01 = 11.78 mol

T = 35 + 273.15 = 308.1 K

压强

P = nRT/V = 11.78·8.314·308.1/0.01 = 3018 kPa

答案

P = 3018 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 1.553 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 298.1 K, T₂ = 463.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(150/750)·(463.1/298.1) = 1.553 L

答案

V₂ = 1.553 L

17.热机和制冷机

答案: η_II = 54.88 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 550 + 273.15 = 823.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 298.1/823.1 = 63.78 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 35/63.78 = 54.88 %

答案

η_II = 54.88 %

18.热机和制冷机

答案: COP_max = 15.48

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 21 + 273.15 = 294.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294.1/(294.1 − 275.1) = 15.48

答案

COP_max = 15.48

19.波、声与光学

答案: f₃ = 514.5 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·1/3 = 0.6667 m

频率

f = v/λ = 343/0.6667 = 514.5 Hz

答案

f₃ = 514.5 Hz

20.波、声与光学

答案: Δy = 6.33 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 633 × 10⁻⁹·1.5/(0.15 × 10⁻³) = 6.33 mm

答案

Δy = 6.33 mm

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