大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 108 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 11 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 11 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 15 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 140 N 的水平力拉前面 6 kg 的物块；2 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 2 kgm₂ = 6 kgF = 140 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 60° 的角度抛出，落在 105 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 60°R = 105 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 13 m/sθ = 50°h = 10 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个 4 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 16 m，动摩擦因数为 0.35。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 4 kgθ = 25°μ = 0.35d = 16 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 10 kgh = 2.5 mL = 4 mμ = 0.3k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 5 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 3 kgh = 5 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.动量与碰撞困难

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用长 1.7 m 的轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 25°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 2 kgL = 1.7 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 290 kPa，流速为 1.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 290 kPav₁ = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 50 mm，同时升高 2 m。截面 1 处压强为 130 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 130 kPav₁ = 1 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 50 L 的容器中装有 430 g CH₄，温度为 45 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 430 gM = 16.04 g/molV = 50 LT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求He在 750 kPa 和 30 °C 下的密度 ρ。

M = 4.003 g/molP = 750 kPaT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台可逆制冷机通过排出 3.5 kW 的热量使冷库保持在 -20 °C，并向 28 °C 的环境放热。求它放热的速率 Q̇_H。

T_L = -20 °CT_H = 28 °CQ̇_L = 3.5 kW

Q̇_H = kW

18.热机和制冷机困难

一台卡诺热机从 850 °C 的热源吸收 150 kW 热量，并向 27 °C 的环境放热。它的全部功用于驱动一台卡诺制冷机，该制冷机从 0 °C 的冷冻室排出热量，也向 27 °C 的环境放热。求从冷冻室排出热量的速率 Q̇_L。

T_H = 850 °CT₀ = 27 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 150 kW

Q̇_L = kW

19.波、声与光学中等

一台机器在某点产生 85 dB 的声级。当 2 台相同的机器同时运行时（非相干声源），求该点的声级 β。

β₁ = 85 dBn = 2

β = dB

20.波、声与光学困难

波长为 633 nm 的光照射到相距 0.15 mm 的两条缝上。屏距离缝 1.2 m。求从中央亮条纹到第 5 条亮条纹的距离 y₅。

λ = 633 nmd = 0.15 mmL = 1.2 mm = 5

y₅ = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 4.615 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/6.5 = 4.615 s

答案

t = 4.615 s

2.运动学

答案: t = 3.199 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 11·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 11·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (11 + √(11² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.199 s

答案

t = 3.199 s

3.牛顿定律

答案: a = 5.554 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.1·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.0766) = 5.554 m/s²

答案

a = 5.554 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 35 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (140 − 15.7)/8 = 15.54 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 2·(15.54 + 1.962) = 35 N

答案

T = 35 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: v₀ = 34.49 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·105/sin 120°) = 34.49 m/s

答案

v₀ = 34.49 m/s

6.抛体运动

答案: x = 23.12 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 50° = 8.356 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 50° = 9.959 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 10 + 9.959·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.959 + √(99.17 + 196.2))/9.81 = 2.767 s

水平距离

x = v_x·t = 8.356·2.767 = 23.12 m

答案

x = 23.12 m

7.功和能

答案: W_f = 199.2 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 39.24·0.9063 = 35.56 N

F = μN = 0.35·35.56 = 12.45 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 12.45·16 = 199.2 J

答案

W_f = 199.2 J

8.功和能

答案: x = 50.5 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(2.5 − 0.3·4) = 127.5 J

最大压缩量

½kx² = 127.5 → x = √(2·127.5/1000) = 0.505 m = 50.5 cm

答案

x = 50.5 cm

9.动量与碰撞

答案: v = 298.1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.05) = 0.9905 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 3)·0.9905/0.01 = 298.1 m/s

答案

v = 298.1 m/s

10.动量与碰撞

答案: v = 237.5 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.7·(1 − cos 25°) = 0.1593 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1593) = 1.768 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 2.015·1.768/0.015 = 237.5 m/s

答案

v = 237.5 m/s

11.静水压力

答案: F = 36.79 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·1.5 = 36.79 kN

答案

F = 36.79 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 3.25 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·4.5 = 132.4 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 3.375/(3·4.5) = 3.25 m

答案

y_cp = 3.25 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 287.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(100/75)² = 2.667 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 2.667²)/1000 = −2.431 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 290 + (−2.431) = 287.6 kPa

答案

p₂ = 287.6 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 108.3 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/50)² = 2.25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 2.25²)/1000 = −2.031 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 130 + (−2.031) − 19.62 = 108.3 kPa

答案

p₂ = 108.3 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 1418 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 430/16.04 = 26.81 mol

T = 45 + 273.15 = 318.1 K

压强

P = nRT/V = 26.81·8.314·318.1/0.05 = 1418 kPa

答案

P = 1418 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 1.191 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 30 + 273.15 = 303.1 K

密度

ρ = 750·4.003/(8.314·303.1) = 1.191 kg/m³

答案

ρ = 1.191 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: Q̇_H = 4.164 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

可逆循环的热量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 3.5·301.1/253.1 = 4.164 kW

答案

Q̇_H = 4.164 kW

输入功率：Ẇ = 0.6636 kW。

18.热机和制冷机

答案: Q̇_L = 1112 kW

绝对温度

T_H = 850 + 273.15 = 1123 K

T₀ = 27 + 273.15 = 300.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

热机的功

η = 1 − 300.1/1123 = 0.7328

Ẇ = 0.7328·150 = 109.9 kW

制冷机排出的热量

COP_R = 273.1/(300.1 − 273.1) = 10.12

Q̇_L = 10.12·109.9 = 1112 kW

答案

Q̇_L = 1112 kW

19.波、声与光学

答案: β = 88.01 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

总强度

I = 2·I₁

难度

β = 85 + 10·log₁₀(2) = 88.01 dB

答案

β = 88.01 dB

20.波、声与光学

答案: y₅ = 25.32 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 633 × 10⁻⁹·1.2/(0.15 × 10⁻³) = 5.064 mm

第 5 条条纹

y₅ = 5·5.064 = 25.32 mm

答案

y₅ = 25.32 mm

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