大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 260 km/h 的速度，可用跑道长 1500 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 260 km/hs = 1500 m

a = m/s²

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 12 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 12 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 14 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 14 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 6.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 5 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 40 m/s、与水平方向成 35° 的角度朝 31 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 40 m/sθ = 35°x = 31 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 40 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 30 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 40 m/sθ = 65°h_roof = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 10 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 35°μ = 0.1d = 10 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 4 kgh = 1.5 mL = 3 mμ = 0.15k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一辆以 23 m/s 行驶的 1700 kg 汽车撞上一辆静止的 2000 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 1700 kgv₁ = 23 m/sm₂ = 2000 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

10.动量与碰撞困难

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 1.2 m 的轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 40°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 3 kgL = 1.2 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水从一个大型敞口水箱经直径 20 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 4.5 m，流量系数为 0.63。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 20 mmh = 4.5 mC_d = 0.63g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

一个水平文丘里流量计（入口 300 mm，喉部 150 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 120 mm。流量系数为 0.98。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmΔh = 120 mmC_d = 0.98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

380 g N₂在 350 kPa 和 20 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 380 gM = 28.01 g/molP = 350 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求N₂在 600 kPa 和 80 °C 下的密度 ρ。

M = 28.01 g/molP = 600 kPaT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 675 °C 的高温热源和 15 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 675 °CT_L = 15 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 35 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -10 °C，以 0.5 kW 从冷藏室移走热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 35 °CT_L = -10 °CQ̇_L = 0.5 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

对于入射角大于 40° 的每一个角度，透明块内的光在与甘油（n = 1.47）的界面上都发生全反射。求该透明块的折射率 n₁。

θ_c = 40°n₂ = 1.47

n₁ =

20.波、声与光学困难

波长为 450 nm 的光垂直照射在每毫米 800 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ₁。

N = 800 mm⁻¹λ = 450 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.739 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 260/3.6 = 72.22 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 72.22²/(2·1500) = 1.739 m/s²

答案

a = 1.739 m/s²

2.运动学

答案: t = 3.791 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−25 = 12·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 12·t − 25 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (12 + √(12² + 2·9.81·25))/9.81 = 3.791 s

答案

t = 3.791 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.618 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.25·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2048) = 3.618 m/s²

答案

a = 3.618 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 1.327 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 49.05 N

m₁·g·sin θ = 21.81 N

μ·m₁·g·cos θ = 11.98 N

系统的加速度

a = (49.05 − 21.81 − 11.98)/11.5 = 1.327 m/s²

答案

a = 1.327 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 17.32 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 40·cos 35° = 32.77 m/s

t = x/v_x = 31/32.77 = 0.9461 s

此时的高度

y = 22.94·0.9461 − ½·9.81·0.9461² = 17.32 m

答案

y = 17.32 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 108.9 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 16.9 m/s, v_y = 36.25 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

30 = 36.25·t − 4.905·t²

t = (36.25 + √(36.25² − 2·9.81·30))/9.81 = 6.441 s

水平距离

x = v_x·t = 16.9·6.441 = 108.9 m

答案

x = 108.9 m

7.功和能

答案: W_f = 4.018 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.8192 = 4.018 N

F = μN = 0.1·4.018 = 0.4018 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 0.4018·10 = 4.018 J

答案

W_f = 4.018 J

8.功和能

答案: v = 4.539 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(1.5 − 0.15·3) = 41.2 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.05) = 4.539 m/s

答案

v = 4.539 m/s

9.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 54.05 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1700·23/3700 = 10.57 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1700·23² = 449650 J

K_after = ½·3700·10.57² = 206596 J

损失的比例

ΔK/K = 243054/449650 = 54.05 %

答案

ΔK/K = 54.05 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: v = 354.4 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.2·(1 − cos 40°) = 0.2807 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.2807) = 2.347 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 3.02·2.347/0.02 = 354.4 m/s

答案

v = 354.4 m/s

11.静水压力

答案: F = 239.1 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·7.5 = 239.1 kN

答案

F = 239.1 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.048 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1.75·3.75 = 65.99 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·2.5³/12 = 1.953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.75 + 1.953/(1.75·3.75) = 2.048 m

答案

y_cp = 2.048 m

13.连续性和伯努利

答案: Q = 1.86 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·4.5) = 9.396 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.63·0.0003142·9.396 = 0.00186 m³/s = 1.86 L/s

答案

Q = 1.86 L/s

14.连续性和伯努利

答案: Q = 97.42 L/s

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.12 = 14833 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 150/300 = 0.5

v₂ = √(2·14833/(1000·(1 − 0.0625))) = 5.625 m/s

实际流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.98·0.01767·5.625 = 0.09742 m³/s = 97.42 L/s

答案

Q = 97.42 L/s

15.理想气体定律

答案: V = 94.47 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 380/28.01 = 13.57 mol

T = 20 + 273.15 = 293.1 K

体积

V = nRT/P = 13.57·8.314·293.1/350 = 94.47 L

答案

V = 94.47 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 5.724 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 80 + 273.15 = 353.1 K

密度

ρ = 600·28.01/(8.314·353.1) = 5.724 kg/m³

答案

ρ = 5.724 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_max = 69.61 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 675 + 273.15 = 948.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/948.1 = 69.61 %

答案

η_max = 69.61 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.0855 kW

绝对温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 263.1/(308.1 − 263.1) = 5.848

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 0.5/5.848 = 0.0855 kW

答案

Ẇ_min = 0.0855 kW

19.波、声与光学

答案: n₁ = 2.287

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透明块的折射率

n₁ = n₂/sin θc = 1.47/0.6428 = 2.287

答案

n₁ = 2.287

20.波、声与光学

答案: θ₁ = 21.1 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/800 mm = 1.25 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·450 × 10⁻⁹/(1.25 × 10⁻⁶) = 0.36

θ = 21.1°

答案

θ₁ = 21.1°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers