大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 72 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 20 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 20 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 6 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 6 kgθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 5.5 m/s 的速度开始沿 20° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 5.5 m/sθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 50° 的角度抛出，落在 95 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 50°R = 95 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 28 m/sθ = 35°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个 5 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 11 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 5 kgθ = 40°μ = 0.1d = 11 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 4 mL = 1 mμ = 0.1k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 0.5 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 24 m/s 撞到墙上，并以 20 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.15 kgv_in = 24 m/sv_out = 20 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 250 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 250 kPav₁ = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 150 mm 缩小到 75 mm，同时升高 8 m。截面 1 处压强为 250 kPa，流速为 3 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 250 kPav₁ = 3 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 20 L 的容器中装有 80 g CO₂，温度为 55 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 80 gM = 44.01 g/molV = 20 LT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求He在 700 kPa 和 0 °C 下的密度 ρ。

M = 4.003 g/molP = 700 kPaT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台可逆制冷机通过排出 0.5 kW 的热量使冷库保持在 5 °C，并向 28 °C 的环境放热。求它放热的速率 Q̇_H。

T_L = 5 °CT_H = 28 °CQ̇_L = 0.5 kW

Q̇_H = kW

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 35 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -25 °C，以 5 kW 从冷藏室移走热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 35 °CT_L = -25 °CQ̇_L = 5 kW

COP_max =

19.波、声与光学中等

一台机器在某点产生 85 dB 的声级。当 8 台相同的机器同时运行时（非相干声源），求该点的声级 β。

β₁ = 85 dBn = 8

β = dB

20.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 50 cm 的凸面镜前 40 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 40 cmR = 50 cm

m =

3溶液

1.运动学

答案: s = 57.14 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·3.5) = 57.14 m

答案

s = 57.14 m

2.运动学

答案: h_max = 35.39 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 20²/(2·9.81) = 20.39 m

离地面的高度

h_max = 15 + 20.39 = 35.39 m

答案

h_max = 35.39 m

3.牛顿定律

答案: a = 0.5897 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.3·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2819) = 0.5897 m/s²

答案

a = 0.5897 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 2.672 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 20° + 0.25·cos 20°) = 5.66 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 5.5²/(2·5.66) = 2.672 m

答案

d = 2.672 m

5.抛体运动

答案: v₀ = 30.76 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·95/sin 100°) = 30.76 m/s

答案

v₀ = 30.76 m/s

6.抛体运动

答案: x = 101.5 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 35° = 22.94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 35° = 16.06 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 16.06·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16.06 + √(257.9 + 490.5))/9.81 = 4.426 s

水平距离

x = v_x·t = 22.94·4.426 = 101.5 m

答案

x = 101.5 m

7.功和能

答案: W_f = 41.33 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.766 = 37.57 N

F = μN = 0.1·37.57 = 3.757 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 3.757·11 = 41.33 J

答案

W_f = 41.33 J

8.功和能

答案: x = 27.66 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(4 − 0.1·1) = 153 J

最大压缩量

½kx² = 153 → x = √(2·153/4000) = 0.2766 m = 27.66 cm

答案

x = 27.66 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = −2.667 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (0.5 − 2.5)/(0.5 + 2.5)·4 = −2.667 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 2.5)·4 = 1.333 m/s

答案

v′₁ = −2.667 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

10.动量与碰撞

答案: J = 6.6 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(20 + 24) = 6.6 N·s

答案

J = 6.6 N·s

11.静水压力

答案: F = 38.63 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·2.25 = 38.63 kN

答案

F = 38.63 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.818 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.75·1.5 = 41.48 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·1.5³/12 = 0.2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.75 + 0.2813/(2.75·1.5) = 2.818 m

答案

y_cp = 2.818 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 243.2 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(100/75)² = 4.444 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 4.444²)/1000 = −6.752 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 250 + (−6.752) = 243.2 kPa

答案

p₂ = 243.2 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 104 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(150/75)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 250 + (−67.5) − 78.48 = 104 kPa

答案

p₂ = 104 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 248 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 80/44.01 = 1.818 mol

T = 55 + 273.15 = 328.1 K

压强

P = nRT/V = 1.818·8.314·328.1/0.02 = 248 kPa

答案

P = 248 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 1.234 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

密度

ρ = 700·4.003/(8.314·273.1) = 1.234 kg/m³

答案

ρ = 1.234 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: Q̇_H = 0.5413 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

可逆循环的热量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 0.5·301.1/278.1 = 0.5413 kW

答案

Q̇_H = 0.5413 kW

输入功率：Ẇ = 0.04134 kW。

18.热机和制冷机

答案: COP_max = 4.136

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 248.1/(308.1 − 248.1) = 4.136

答案

COP_max = 4.136

19.波、声与光学

答案: β = 94.03 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

总强度

I = 8·I₁

难度

β = 85 + 10·log₁₀(8) = 94.03 dB

答案

β = 94.03 dB

20.波、声与光学

答案: m = 0.3846

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = −R/2 = −25 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−25) − 1/40

d_i = −15.38 cm

放大率

m = −(−15.38)/40 = 0.3846

答案

m = 0.3846

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