大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 108 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.1 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.1 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 10 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 40 N 的水平力拉前面 5 kg 的物块；8 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 8 kgm₂ = 5 kgF = 40 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 10 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 31 m/sθ = 50°h = 10 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 60 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。求制动距离 d。

v = 60 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

8.功和能困难

在 15° 斜坡底部有一根刚度为 2000 N/m 的弹簧，它顶着一个 1 kg 的物块被压缩 20 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.3。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 1 kgk = 2000 N/mx = 20 cmθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

9.动量与碰撞中等

一辆以 6 m/s 行驶的 1500 kg 汽车撞上一辆静止的 1200 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1500 kgv₁ = 6 m/sm₂ = 1200 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 15 m/s 向东行驶的 1200 kg 汽车与一辆以 18 m/s 向北行驶的 900 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1200 kgv₁ = 15 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 18 m/s (N)

θ = °

11.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 200 mm 缩小到 100 mm。宽段压强为 320 kPa，流速为 1.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 320 kPav₁ = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 200 mm 缩小到 100 mm，同时升高 1 m。截面 1 处压强为 100 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 100 kPav₁ = 1 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

300 g N₂在 600 kPa 和 25 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 300 gM = 28.01 g/molP = 600 kPaT = 25 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求O₂在 600 kPa 和 70 °C 下的密度 ρ。

M = 32 g/molP = 600 kPaT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机从 900 °C 的热源吸热，向 15 °C 的环境放热。其实际热效率为 49%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 900 °CT_L = 15 °Cη = 49%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

一台热泵从 -5 °C 的热源吸热，向 55 °C 的供暖系统提供 7 kW 的热量。其实际 COP 为这两个温度之间卡诺 COP 的 45%。求它消耗的电功率 Ẇ。

T_H = 55 °CT_L = -5 °Cη_II = 45%Q̇_H = 7 kW

Ẇ = kW

19.波、声与光学中等

一端封闭的管长 0.8 m。声速为 343 m/s。求其基频（一次谐波）的频率 f₁。

v = 343 m/sn = 1L = 0.8 m

f₁ = Hz

20.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 40 cm：透镜 1 的 f₁ = 12 cm，透镜 2 的 f₂ = −15 cm。一个物体位于透镜 1 前 15 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 12 cmf₂ = −15 cms = 40 cmd_o = 15 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 60 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·7.5) = 60 m

答案

s = 60 m

2.运动学

答案: d = 74 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.1 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1406 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1406))/(2·4.905) = 3.884 s

深度

d = ½·9.81·3.884² = 74 m

答案

d = 74 m

3.牛顿定律

答案: a = 3.618 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.25·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2048) = 3.618 m/s²

答案

a = 3.618 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 24.62 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (40 − 19.13)/13 = 1.605 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 8·(1.605 + 1.472) = 24.62 N

答案

T = 24.62 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: t = 1.766 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 60° = 5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 60° = 8.66 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·8.66/9.81 = 1.766 s

答案

t = 1.766 s

6.抛体运动

答案: x = 104.2 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 50° = 19.93 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 50° = 23.75 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 10 + 23.75·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (23.75 + √(563.9 + 196.2))/9.81 = 5.231 s

水平距离

x = v_x·t = 19.93·5.231 = 104.2 m

答案

x = 104.2 m

7.功和能

答案: d = 28.32 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 60/3.6 = 16.67 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 16.67²/(2·0.5·9.81) = 28.32 m

答案

d = 28.32 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: d = 7.433 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·2000·0.2² = 40 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 40/(9.81·(0.2588 + 0.3·0.9659)) = 7.433 m

答案

d = 7.433 m

9.动量与碰撞

答案: ΔK = 12000 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1500·6/2700 = 3.333 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1500·6² = 27000 J

K_after = ½·2700·3.333² = 15000 J

损失的能量

ΔK = 27000 − 15000 = 12000 J

答案

ΔK = 12000 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: θ = 41.99 °

动量分量

p_x = 1200·15 = 18000 kg·m/s

p_y = 900·18 = 16200 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 0.9 → θ = 41.99°

答案

θ = 41.99°

11.静水压力

答案: F = 147.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·6 = 147.2 kN

答案

F = 147.2 kN

12.静水压力

答案: F = 77.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·1.5·6 = 77.7 kN

答案

F = 77.7 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 303.1 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(200/100)² = 6 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 6²)/1000 = −16.88 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 320 + (−16.88) = 303.1 kPa

答案

p₂ = 303.1 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 82.69 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(200/100)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 100 + (−7.5) − 9.81 = 82.69 kPa

答案

p₂ = 82.69 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 44.25 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 300/28.01 = 10.71 mol

T = 25 + 273.15 = 298.1 K

体积

V = nRT/P = 10.71·8.314·298.1/600 = 44.25 L

答案

V = 44.25 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 6.73 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

密度

ρ = 600·32/(8.314·343.1) = 6.73 kg/m³

答案

ρ = 6.73 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_II = 64.95 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 900 + 273.15 = 1173 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 288.1/1173 = 75.44 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 49/75.44 = 64.95 %

答案

η_II = 64.95 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ = 2.844 kW

绝对温度

T_H = 55 + 273.15 = 328.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

卡诺 COP 和实际 COP

COP_max = 328.1/(328.1 − 268.1) = 5.469

COP = 0.45·5.469 = 2.461

输入功率

Ẇ = Q̇_H/COP = 7/2.461 = 2.844 kW

答案

Ẇ = 2.844 kW

19.波、声与光学

答案: f₁ = 107.2 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·0.8/1 = 3.2 m

频率

f = v/λ = 343/3.2 = 107.2 Hz

答案

f₁ = 107.2 Hz

20.波、声与光学

答案: d_i2 = −60 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/12 − 1/15 → d_i1 = 60 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 40 − 60 = −20 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/(−15) − 1/(−20) → d_i2 = −60 cm

答案

d_i2 = −60 cm

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