大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 72 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2.5 m/s² 加速 9 s，然后匀速行驶 28 s，最后以 4.5 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 9 st₂ = 28 sa₃ = −4.5 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的雪橇被一根与水平方向成 35° 向上的绳子以 50 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 20 kgF = 50 Nθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 3.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 3 kgθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 35° 的角度抛出，落在 50 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 35°R = 50 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 10 m/sθ = 15°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.4。求它沿斜面滑行 5 m 后的速度 v。

θ = 30°μ = 0.4d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 4.5 mL = 3.5 mμ = 0.3k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 0.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.3 kg 的小球以 16 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.3 kgv_in = 16 m/sv_out = 10 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水管中的皮托静压管测得总压与静压之差为 9 kPa。求测头处的水流速度 v。

p₀ − p = 9 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.连续性和伯努利困难

一个水平文丘里流量计（入口 250 mm，喉部 125 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 180 mm。流量系数为 0.95。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmΔh = 180 mmC_d = 0.95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

450 g O₂在 500 kPa 和 100 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 450 gM = 32 g/molP = 500 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求N₂在 100 kPa 和 160 °C 下的密度 ρ。

M = 28.01 g/molP = 100 kPaT = 160 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机从 400 °C 的热源吸热，向 25 °C 的环境放热。其实际热效率为 28%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 400 °CT_L = 25 °Cη = 28%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

一台热机每个循环从 800 °C 的热源吸收 600 kJ 热量，产生 216 kJ 的功，其余热量排向 20 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 S_gen。

T_H = 800 °CT_L = 20 °CQ_H = 600 kJW = 216 kJ

S_gen = kJ/K

19.波、声与光学中等

光在火石玻璃（n = 1.62）中向与水（n = 1.33）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 1.62n₂ = 1.33

θ_c = °

20.波、声与光学困难

波长为 480 nm 的光照射到相距 0.1 mm 的两条缝上。屏距离缝 2.5 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 480 nmd = 0.1 mmL = 2.5 m

Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 44.44 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·4.5) = 44.44 m

答案

s = 44.44 m

2.运动学

答案: s = 787.5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·9 = 22.5 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·2.5·9² = 101.3 m

s₂ = 22.5·28 = 630 m

s₃ = 22.5²/(2·4.5) = 56.25 m

总距离

s = 101.3 + 630 + 56.25 = 787.5 m

答案

s = 787.5 m

3.牛顿定律

答案: a = 0.3727 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 196.2 − 50·sin 35° = 167.5 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 40.96 − 33.5

a = 7.453/20 = 0.3727 m/s²

答案

a = 0.3727 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 1.48 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 29.43 N

m₁·g·sin θ = 11.74 N

μ·m₁·g·cos θ = 8.066 N

系统的加速度

a = (29.43 − 11.74 − 8.066)/6.5 = 1.48 m/s²

答案

a = 1.48 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 22.85 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·50/sin 70°) = 22.85 m/s

答案

v₀ = 22.85 m/s

6.抛体运动

答案: x = 12.63 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 15° = 9.659 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 15° = 2.588 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 2.588·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (2.588 + √(6.699 + 98.1))/9.81 = 1.307 s

水平距离

x = v_x·t = 9.659·1.307 = 12.63 m

答案

x = 12.63 m

7.功和能

答案: v = 3.882 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·5·(0.5 − 0.4·0.866)) = 3.882 m/s

答案

v = 3.882 m/s

8.功和能

答案: x = 13.01 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(4.5 − 0.3·3.5) = 33.84 J

最大压缩量

½kx² = 33.84 → x = √(2·33.84/4000) = 0.1301 m = 13.01 cm

答案

x = 13.01 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = 15 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 0.5)/(2.5 + 0.5)·9 = 6 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 0.5)·9 = 15 m/s

答案

v′₂ = 15 m/s

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 390 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.3·(10 + 16) = 7.8 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 7.8/0.02 = 390 N

答案

F_avg = 390 N

11.静水压力

答案: F = 99.33 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·4.5 = 99.33 kN

答案

F = 99.33 kN

12.静水压力

答案: F = 84.84 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.25·3.75 = 84.84 kN

答案

F = 84.84 kN

13.连续性和伯努利

答案: v = 4.243 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·9000/1000) = 4.243 m/s

答案

v = 4.243 m/s

14.连续性和伯努利

答案: Q = 80.32 L/s

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.18 = 22249 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 125/250 = 0.5

v₂ = √(2·22249/(1000·(1 − 0.0625))) = 6.889 m/s

实际流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.95·0.01227·6.889 = 0.08032 m³/s = 80.32 L/s

答案

Q = 80.32 L/s

15.理想气体定律

答案: V = 87.25 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 450/32 = 14.06 mol

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

体积

V = nRT/P = 14.06·8.314·373.1/500 = 87.25 L

答案

V = 87.25 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 0.7778 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 160 + 273.15 = 433.1 K

密度

ρ = 100·28.01/(8.314·433.1) = 0.7778 kg/m³

答案

ρ = 0.7778 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_II = 50.26 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 298.1/673.1 = 55.71 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 28/55.71 = 50.26 %

答案

η_II = 50.26 %

18.热机和制冷机

答案: S_gen = 0.7508 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 Q_H/T_H，低温热源得到 Q_L/T_L。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

Q_L = Q_H − W = 600 − 216 = 384 kJ

绝对温度

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

热源的熵变

ΔS_H = −600/1073 = −0.5591 kJ/K

ΔS_L = 384/293.1 = 1.31 kJ/K

S_gen = 1.31 − 0.5591 = 0.7508 kJ/K

答案

S_gen = 0.7508 kJ/K

S_gen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: θ_c = 55.18 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.33/1.62 = 0.821

临界角

θc = arcsin(0.821) = 55.18°

答案

θ_c = 55.18°

20.波、声与光学

答案: Δy = 12 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·2.5/(0.1 × 10⁻³) = 12 mm

答案

Δy = 12 mm

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