大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 36 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.5 s，之后汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 36 km/ht_r = 1.5 sa = −5.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1.5 m/s² 加速 10 s，然后匀速行驶 15 s，最后以 2 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 1.5 m/s²t₁ = 10 st₂ = 15 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 16 kg 的物块沿倾角为 25° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 16 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 40 m/s 抛出，必须落在 70 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 40 m/sR = 70 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 23 m/sθ = 45°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 15° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 5 m 后的速度 v。

θ = 15°μ = 0.15d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.功和能困难

一辆 10 kg 的小车从光滑轨道上 6 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 10 kgh = 6 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.动量与碰撞中等

一个以 22 m/s 水平运动的 17 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。3 kg 的碎片以 82 m/s 继续向前运动。求 14 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 17 kgu = 22 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 82 m/sm₂ = 14 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用长 0.7 m 的轻绳悬挂的 5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 10°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 5 kgL = 0.7 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 300 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 300 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 120 kPa。水从水面以下 4 m 处直径 20 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 120 kPa (表压)h = 4 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

360 g Ar在 550 kPa 和 90 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 360 gM = 39.95 g/molP = 550 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的O₂从 400 kPa、20 L、20 °C 变化到 150 kPa 和 130 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 400 kPaV₁ = 20 LT₁ = 20 °CP₂ = 150 kPaT₂ = 130 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 800 °C 的高温热源和 40 °C 的低温热源之间工作。它吸收 2200 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 800 °CT_L = 40 °CQ_H = 2200 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台热泵从 -10 °C 的热源吸热，向 20 °C 的供暖系统提供 15.5 kW 的热量。其实际 COP 为这两个温度之间卡诺 COP 的 60%。求它消耗的电功率 Ẇ。

T_H = 20 °CT_L = -10 °Cη_II = 60%Q̇_H = 15.5 kW

Ẇ = kW

19.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 5 m 处的声级为 60 dB。忽略吸收和反射，求 25 m 处的声级 β₂。

β₁ = 60 dBr₁ = 5 mr₂ = 25 m

β₂ = dB

20.波、声与光学困难

波长为 500 nm 的光照射到相距 0.1 mm 的两条缝上。屏距离缝 3 m。求从中央亮条纹到第 4 条亮条纹的距离 y₄。

λ = 500 nmd = 0.1 mmL = 3 mm = 4

y₄ = mm

3溶液

1.运动学

答案: d = 24.09 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 10·1.5 = 15 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 10²/(2·5.5) = 9.091 m

合计

d = 15 + 9.091 = 24.09 m

答案

d = 24.09 m

2.运动学

答案: s = 356.3 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 1.5·10 = 15 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·1.5·10² = 75 m

s₂ = 15·15 = 225 m

s₃ = 15²/(2·2) = 56.25 m

总距离

s = 75 + 225 + 56.25 = 356.3 m

答案

s = 356.3 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.146 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0) = 4.146 m/s²

答案

a = 4.146 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 2.375 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 11.77)/9.5 = 2.375 m/s²

答案

a = 2.375 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 12.71 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·70/40² = 0.4292

相角

2θ = 25.42° → θ = 12.71°

答案

θ = 12.71°

另一个解为 90° − θ = 77.29°。

6.抛体运动

答案: t = 5.394 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 45° = 16.26 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 45° = 16.26 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 16.26·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16.26 + √(264.5 + 1079))/9.81 = 5.394 s

答案

t = 5.394 s

7.功和能

答案: v = 3.343 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·5·(0.2588 − 0.15·0.9659)) = 3.343 m/s

答案

v = 3.343 m/s

8.功和能

答案: N = 98.1 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(6 − 4) = 39.24 m²/s²

顶点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

N = mv²/R − mg = 10·39.24/2 − 98.1 = 98.1 N

答案

N = 98.1 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = 9.143 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 17·22 = 374 kg·m/s

碰撞后的动量

374 = 3·82 + 14·v′₂

v′₂ = (374 − 246)/14 = 9.143 m/s

答案

v′₂ = 9.143 m/s

10.动量与碰撞

答案: v = 285.9 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.7·(1 − cos 10°) = 0.01063 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.01063) = 0.4568 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 5.008·0.4568/0.008 = 285.9 m/s

答案

v = 285.9 m/s

11.静水压力

答案: F = 154.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·4.5 = 154.5 kN

答案

F = 154.5 kN

12.静水压力

答案: F = 241.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4·6 = 241.3 kN

答案

F = 241.3 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 298 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/50)² = 2.25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 2.25²)/1000 = −2.031 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 300 + (−2.031) = 298 kPa

答案

p₂ = 298 kPa

14.连续性和伯努利

答案: Q = 5.606 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(120000/1000 + 9.81·4)) = 17.85 m/s

流量

Q = A·v = 0.0003142·17.85 = 0.005606 m³/s = 5.606 L/s

答案

Q = 5.606 L/s

15.理想气体定律

答案: V = 49.47 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 360/39.95 = 9.011 mol

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

体积

V = nRT/P = 9.011·8.314·363.1/550 = 49.47 L

答案

V = 49.47 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 73.35 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 293.1 K, T₂ = 403.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(400/150)·(403.1/293.1) = 73.35 L

答案

V₂ = 73.35 L

17.热机和制冷机

答案: W_max = 1558 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313.1/1073 = 70.82 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.7082·2200 = 1558 kJ

答案

W_max = 1558 kJ

18.热机和制冷机

答案: Ẇ = 2.644 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

卡诺 COP 和实际 COP

COP_max = 293.1/(293.1 − 263.1) = 9.772

COP = 0.6·9.772 = 5.863

输入功率

Ẇ = Q̇_H/COP = 15.5/5.863 = 2.644 kW

答案

Ẇ = 2.644 kW

19.波、声与光学

答案: β₂ = 46.02 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (5/25)² = 0.04

新的声级

β₂ = 60 + 10·log₁₀(0.04) = 46.02 dB

答案

β₂ = 46.02 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

20.波、声与光学

答案: y₄ = 60 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 500 × 10⁻⁹·3/(0.1 × 10⁻³) = 15 mm

第 4 条条纹

y₄ = 4·15 = 60 mm

答案

y₄ = 60 mm

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