大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 4 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1000 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 4 m/s²s = 1000 m

v = m/s

2.运动学困难

球 A 从 50 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 26 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 50 mv_0B = 26 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 13 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 13 kgθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 30 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 29 m/sθ = 20°h = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 60 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.4。求制动距离 d。

v = 60 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²

d = m

8.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 3.5 mL = 4 mμ = 0.25k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 7 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 1.1 m 的轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 20°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 2.5 kgL = 1.1 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 4 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 330 kPa，流速为 1.25 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 330 kPav₁ = 1.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 50 mm，同时升高 8 m。截面 1 处压强为 240 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 240 kPav₁ = 1 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 50 L 的容器中装有 390 g Ar，温度为 70 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 390 gM = 39.95 g/molV = 50 LT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的O₂从 100 kPa、20 L、40 °C 变化到 250 kPa 和 90 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 100 kPaV₁ = 20 LT₁ = 40 °CP₂ = 250 kPaT₂ = 90 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 700 °C 的高温热源和 10 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 700 °CT_L = 10 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 -5 °C 时将房屋保持在 20 °C，向房屋提供 14 kW 热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 20 °CT_L = -5 °CQ̇_H = 14 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 5 m 处的声级为 80 dB。忽略吸收和反射，求 40 m 处的声级 β₂。

β₁ = 80 dBr₁ = 5 mr₂ = 40 m

β₂ = dB

20.波、声与光学困难

波长为 450 nm 的光通过一条宽 0.1 mm 的单缝。求 3 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 450 nma = 0.1 mmL = 3 m

w = mm

3溶液

1.运动学

答案: v = 89.44 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·4·1000) = 89.44 m/s

答案

v = 89.44 m/s

(322 km/h)

2.运动学

答案: y = 31.86 m

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

50 − ½g·t² = 26·t − ½g·t² → t = 50/26 = 1.923 s

相遇高度

y = 26·1.923 − ½·9.81·1.923² = 31.86 m

答案

y = 31.86 m

3.牛顿定律

答案: a = 3.216 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.3·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2457) = 3.216 m/s²

答案

a = 3.216 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 30.27 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 8.829)/10.5 = 4.765 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4.5·4.765 + 8.829 = 30.27 N

答案

T = 30.27 N

5.抛体运动

答案: H = 22.94 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 45° = 21.21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 45° = 21.21 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 21.21²/(2·9.81) = 22.94 m

答案

H = 22.94 m

6.抛体运动

答案: x = 100.4 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 20° = 27.25 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 20° = 9.919 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 9.919·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.919 + √(98.38 + 588.6))/9.81 = 3.683 s

水平距离

x = v_x·t = 27.25·3.683 = 100.4 m

答案

x = 100.4 m

7.功和能

答案: d = 35.39 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 60/3.6 = 16.67 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 16.67²/(2·0.4·9.81) = 35.39 m

答案

d = 35.39 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: x = 24.76 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(3.5 − 0.25·4) = 24.53 J

最大压缩量

½kx² = 24.53 → x = √(2·24.53/800) = 0.2476 m = 24.76 cm

答案

x = 24.76 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = 4.667 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 1)/(5 + 1)·7 = 4.667 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1)·7 = 11.67 m/s

答案

v′₁ = 4.667 m/s

10.动量与碰撞

答案: v = 143.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.1·(1 − cos 20°) = 0.06634 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.06634) = 1.141 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 2.52·1.141/0.02 = 143.7 m/s

答案

v = 143.7 m/s

11.静水压力

答案: F = 397.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·9 = 397.3 kN

答案

F = 397.3 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 5.067 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5·2 = 98.1 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0.6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5 + 0.6667/(5·2) = 5.067 m

答案

y_cp = 5.067 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 326.8 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(75/50)² = 2.813 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 2.813²)/1000 = −3.174 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 330 + (−3.174) = 326.8 kPa

答案

p₂ = 326.8 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 159.5 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/50)² = 2.25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 2.25²)/1000 = −2.031 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 240 + (−2.031) − 78.48 = 159.5 kPa

答案

p₂ = 159.5 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 557 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 390/39.95 = 9.762 mol

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

压强

P = nRT/V = 9.762·8.314·343.1/0.05 = 557 kPa

答案

P = 557 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 9.277 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 313.1 K, T₂ = 363.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(100/250)·(363.1/313.1) = 9.277 L

答案

V₂ = 9.277 L

17.热机和制冷机

答案: η_max = 70.9 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283.1/973.1 = 70.9 %

答案

η_max = 70.9 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 1.194 kW

绝对温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 268.1) = 11.73

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 14/11.73 = 1.194 kW

答案

Ẇ_min = 1.194 kW

19.波、声与光学

答案: β₂ = 61.94 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (5/40)² = 0.01563

新的声级

β₂ = 80 + 10·log₁₀(0.01563) = 61.94 dB

答案

β₂ = 61.94 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

20.波、声与光学

答案: w = 27 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 450 × 10⁻⁹·3/(0.1 × 10⁻³) = 13.5 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 27 mm

答案

w = 27 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers