大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 100 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 28 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。发射后多长时间它落到地面？求 t。

a = 28 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 50 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 35° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 50 kgθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 6 m/s 的速度开始沿 35° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 6 m/sθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 34 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶部以 20 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 20 m/sθ = 35°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 100 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。求制动距离 d。

v = 100 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

8.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 1 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 1 mL = 2 mμ = 0.25k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 3.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用长 0.5 m 的轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 40°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 3 kgL = 0.5 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水从一个大型敞口水箱经直径 30 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 2 m，流量系数为 0.63。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 30 mmh = 2 mC_d = 0.63g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 50 mm，同时升高 5 m。截面 1 处压强为 300 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 300 kPav₁ = 2.5 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

250 g CO₂在 350 kPa 和 60 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 250 gM = 44.01 g/molP = 350 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的N₂从 150 kPa、20 L、35 °C 变化到 450 kPa 和 180 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 150 kPaV₁ = 20 LT₁ = 35 °CP₂ = 450 kPaT₂ = 180 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 225 °C 的高温热源和 40 °C 的低温热源之间工作。它吸收 1900 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 225 °CT_L = 40 °CQ_H = 1900 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 2 °C 时将房屋保持在 21 °C，向房屋提供 4 kW 热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 21 °CT_L = 2 °CQ̇_H = 4 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

两端开口的管长 0.5 m。声速为 343 m/s。求其基频（一次谐波）的频率 f₁。

v = 343 m/sn = 1L = 0.5 m

f₁ = Hz

20.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 24 cm 的凸面镜前 30 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 30 cmR = 24 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 85.73 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·4.5) = 85.73 m

答案

s = 85.73 m

2.运动学

答案: t = 10.76 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 28·1.5 = 42 m/s

h₁ = ½·28·1.5² = 31.5 m

落回地面的自由飞行

解 −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²，取正根。

t₂ = (42 + √(42² + 2·9.81·31.5))/9.81 = 9.256 s

t = 1.5 + 9.256 = 10.76 s

答案

t = 10.76 s

3.牛顿定律

答案: F = 401.9 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 281.3 + 120.5 = 401.9 N

答案

F = 401.9 N

4.牛顿定律

答案: d = 2.488 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 35° + 0.2·cos 35°) = 7.234 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 6²/(2·7.234) = 2.488 m

答案

d = 2.488 m

5.抛体运动

答案: t = 2.371 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 20° = 31.95 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 20° = 11.63 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·11.63/9.81 = 2.371 s

答案

t = 2.371 s

6.抛体运动

答案: H = 46.71 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 20·sin 35° = 11.47 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 11.47²/(2·9.81) = 6.707 m

离地面的高度

H = 40 + 6.707 = 46.71 m

答案

H = 46.71 m

7.功和能

答案: d = 56.18 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 100/3.6 = 27.78 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27.78²/(2·0.7·9.81) = 56.18 m

答案

d = 56.18 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: x = 8.859 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(1 − 0.25·2) = 19.62 J

最大压缩量

½kx² = 19.62 → x = √(2·19.62/5000) = 0.08859 m = 8.859 cm

答案

x = 8.859 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = 5.4 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 3.5)/(1.5 + 3.5)·9 = −3.6 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 3.5)·9 = 5.4 m/s

答案

v′₂ = 5.4 m/s

10.动量与碰撞

答案: v = 569.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.5·(1 − cos 40°) = 0.117 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.117) = 1.515 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 3.008·1.515/0.008 = 569.6 m/s

答案

v = 569.6 m/s

11.静水压力

答案: F = 58.86 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·4 = 58.86 kN

答案

F = 58.86 kN

12.静水压力

答案: F = 117.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·4 = 117.7 kN

答案

F = 117.7 kN

13.连续性和伯努利

答案: Q = 2.79 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·2) = 6.264 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.63·0.0007069·6.264 = 0.00279 m³/s = 2.79 L/s

答案

Q = 2.79 L/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 204.1 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(100/50)² = 10 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 10²)/1000 = −46.88 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 300 + (−46.88) − 49.05 = 204.1 kPa

答案

p₂ = 204.1 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 44.95 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 250/44.01 = 5.681 mol

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

体积

V = nRT/P = 5.681·8.314·333.1/350 = 44.95 L

答案

V = 44.95 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 9.804 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 308.1 K, T₂ = 453.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(150/450)·(453.1/308.1) = 9.804 L

答案

V₂ = 9.804 L

17.热机和制冷机

答案: W_max = 705.6 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 225 + 273.15 = 498.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313.1/498.1 = 37.14 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.3714·1900 = 705.6 kJ

答案

W_max = 705.6 kJ

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.2584 kW

绝对温度

T_H = 21 + 273.15 = 294.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294.1/(294.1 − 275.1) = 15.48

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 4/15.48 = 0.2584 kW

答案

Ẇ_min = 0.2584 kW

19.波、声与光学

答案: f₁ = 343 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.5/1 = 1 m

频率

f = v/λ = 343/1 = 343 Hz

答案

f₁ = 343 Hz

20.波、声与光学

答案: d_i = −8.571 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = −R/2 = −12 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−12) − 1/30

d_i = −8.571 cm

光线图

镜后的虚像

答案

d_i = −8.571 cm

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