大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 60 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 20 m 高的屋顶边缘以 11 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 11 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 5 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 5 kgθ = 45°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 4.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 6 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 24 m/s、与水平方向成 40° 的角度朝 12 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 24 m/sθ = 40°x = 12 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 34 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 12 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 34 m/sθ = 35°h_roof = 12 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个 5 kg 的球挂在长 1 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 45°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 5 kgL = 1 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

8.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 4.5 mL = 2 mμ = 0.2k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一个以 32 m/s 水平运动的 19 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。12 kg 的碎片以 56 m/s 继续向前运动。求 7 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 19 kgu = 32 m/sm₁ = 12 kgv′₁ = 56 m/sm₂ = 7 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用长 1.5 m 的轻绳悬挂的 5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 15°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 5 kgL = 1.5 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 200 mm，喉部直径 100 mm。入口处的压强比喉部高 52 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ − p₂ = 52 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

一根内径 50 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 0.5 m，出口（通大气）低于水面 2.5 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求 C 点的绝对压强 p_C。大气压为 101.3 kPa。

d = 50 mmz_C = +0.5 mz₂ = −2.5 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

15.理想气体定律中等

270 g O₂在 300 kPa 和 25 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 270 gM = 32 g/molP = 300 kPaT = 25 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的CH₄从 350 kPa、20 L、25 °C 变化到 600 kPa 和 200 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 350 kPaV₁ = 20 LT₁ = 25 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 200 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 250 °C 的高温热源和 25 °C 的低温热源之间工作。它吸收 4500 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 250 °CT_L = 25 °CQ_H = 4500 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台热机每个循环从 600 °C 的热源吸收 1000 kJ 热量，产生 400 kJ 的功，其余热量排向 20 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 S_gen。

T_H = 600 °CT_L = 20 °CQ_H = 1000 kJW = 400 kJ

S_gen = kJ/K

19.波、声与光学中等

一个高 5 cm 的物体位于焦距为 20 cm 的薄会聚透镜前 10 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 5 cmd_o = 10 cmf = 20 cm

h_i = cm

20.波、声与光学困难

波长为 500 nm 的光通过一条宽 0.15 mm 的单缝。求 1.5 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 500 nma = 0.15 mmL = 1.5 m

w = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 39.68 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·3.5) = 39.68 m

答案

s = 39.68 m

2.运动学

答案: t = 3.431 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−20 = 11·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 11·t − 20 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (11 + √(11² + 2·9.81·20))/9.81 = 3.431 s

答案

t = 3.431 s

3.牛顿定律

答案: a = 5.203 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.25·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1768) = 5.203 m/s²

答案

a = 5.203 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 3.448 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 58.86 N

m₁·g·sin θ = 18.66 N

μ·m₁·g·cos θ = 4.001 N

系统的加速度

a = (58.86 − 18.66 − 4.001)/10.5 = 3.448 m/s²

答案

a = 3.448 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 7.98 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 24·cos 40° = 18.39 m/s

t = x/v_x = 12/18.39 = 0.6527 s

此时的高度

y = 15.43·0.6527 − ½·9.81·0.6527² = 7.98 m

答案

y = 7.98 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 89.54 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 27.85 m/s, v_y = 19.5 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

12 = 19.5·t − 4.905·t²

t = (19.5 + √(19.5² − 2·9.81·12))/9.81 = 3.215 s

水平距离

x = v_x·t = 27.85·3.215 = 89.54 m

答案

x = 89.54 m

7.功和能

答案: T = 77.78 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1·(1 − cos 45°) = 5.747 m²/s²

最低点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

T = mg + mv²/L = 49.05 + 5·5.747/1 = 77.78 N

答案

T = 77.78 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 77.78 N。

8.功和能

答案: x = 44.84 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(4.5 − 0.2·2) = 80.44 J

最大压缩量

½kx² = 80.44 → x = √(2·80.44/800) = 0.4484 m = 44.84 cm

答案

x = 44.84 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = −9.143 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 19·32 = 608 kg·m/s

碰撞后的动量

608 = 12·56 + 7·v′₂

v′₂ = (608 − 672)/7 = −9.143 m/s

答案

v′₂ = −9.143 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

10.动量与碰撞

答案: v = 501.7 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.5·(1 − cos 15°) = 0.05111 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.05111) = 1.001 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 5.01·1.001/0.01 = 501.7 m/s

答案

v = 501.7 m/s

11.静水压力

答案: F = 88.29 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·4.5 = 88.29 kN

答案

F = 88.29 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.481 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·5 = 110.4 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·2.5³/12 = 2.604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.25 + 2.604/(2.25·5) = 2.481 m

答案

y_cp = 2.481 m

13.连续性和伯努利

答案: Q = 82.72 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(100/200)² = 0.25·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·52000/(1000·(1 − 0.0625))) = 10.53 m/s

v₁ = 2.633 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.007854·10.53 = 0.08272 m³/s = 82.72 L/s

答案

Q = 82.72 L/s

14.连续性和伯努利

答案: p_C = 71.87 kPa

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·2.5) = √(2·9.81·2.5) = 7.004 m/s

从液面到 C 的伯努利方程

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(7.004²/2 + 9.81·0.5)/1000 = 101.3 − 29.43 = 71.87 kPa

答案

p_C = 71.87 kPa

如果该压强降到水的饱和蒸汽压，虹吸就会停止工作。

15.理想气体定律

答案: V = 69.72 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 270/32 = 8.438 mol

T = 25 + 273.15 = 298.1 K

体积

V = nRT/P = 8.438·8.314·298.1/300 = 69.72 L

答案

V = 69.72 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 18.51 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 298.1 K, T₂ = 473.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(350/600)·(473.1/298.1) = 18.51 L

答案

V₂ = 18.51 L

17.热机和制冷机

答案: W_max = 1935 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 250 + 273.15 = 523.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/523.1 = 43.01 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.4301·4500 = 1935 kJ

答案

W_max = 1935 kJ

18.热机和制冷机

答案: S_gen = 0.9015 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 Q_H/T_H，低温热源得到 Q_L/T_L。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

Q_L = Q_H − W = 1000 − 400 = 600 kJ

绝对温度

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

热源的熵变

ΔS_H = −1000/873.1 = −1.145 kJ/K

ΔS_L = 600/293.1 = 2.047 kJ/K

S_gen = 2.047 − 1.145 = 0.9015 kJ/K

答案

S_gen = 0.9015 kJ/K

S_gen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: h_i = 10 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/10

d_i = −20 cm

放大率与像高

m = −(−20)/10 = 2

h_i = 2·5 = 10 cm

答案

h_i = 10 cm

20.波、声与光学

答案: w = 10 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 500 × 10⁻⁹·1.5/(0.15 × 10⁻³) = 5 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 10 mm

答案

w = 10 mm

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