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公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)1.1 s30

一位以 108 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.1 s，之后汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 108 km/htr = 1.1 sa = −6.5 m/s²
d = m
2.运动学困难
d = ?

一块石头由静止释放落入井中。释放后 3.4 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

ttotal = 3.4 svsound = 343 m/sg = 9.81 m/s²
d = m
3.牛顿定律中等
θ = 25°a = ?m = 9 kg

一个 9 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 9 kgθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 1.5 kg2 kgμ = 0.2

水平桌面上一个 1.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 1.5 kgm2 = 2 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
v0​ = 24 m/s45°射程H = ?

一个球 从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v0 = 24 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²
H = m
6.抛体运动困难
h = 20 mv0​ = 16 m/s20°H = ?

一个球从 20 m 高的悬崖顶部以 16 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 16 m/sθ = 20°h = 20 mg = 9.81 m/s²
H = m
7.功和能中等
40°d = 16 mμ = 0.2

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 16 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 Wf。

m = 2.5 kgθ = 40°μ = 0.2d = 16 mg = 9.81 m/s²
Wf = J
8.功和能困难
h = 4 mL = 3 mμ = 0.15k = 1500 N/m

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 4 mL = 3 mμ = 0.15k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
9.动量与碰撞中等
10 kg45 m/s5 kgv′2​ = ?

一个以 15 m/s 水平运动的 15 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。10 kg 的碎片以 45 m/s 继续向前运动。求 5 kg 碎片的速度 v′2（以原运动方向为正）。

M = 15 kgu = 15 m/sm1 = 10 kgv′1 = 45 m/sm2 = 5 kg
v′2 = m/s
10.动量与碰撞困难
27 m/s13 m/s

一个 0.55 kg 的小球以 27 m/s 撞到墙上，并以 13 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.55 kgvin = 27 m/svout = 13 m/sΔt = 20 ms
Favg = N
11.静水压力中等
闸门d = 1.5 mH = 3 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 2 mH = 2.5 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 150 mm, p1​ = 320 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 100 mm。宽段压强为 320 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 320 kPav1 = 2 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.连续性和伯努利困难
d1​ = 250 mmd2​ = 125 mm12Δh = 150 mm水银Q = ?

一个水平文丘里流量计（入口 250 mm，喉部 125 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 150 mm。流量系数为 0.99。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d1 = 250 mmd2 = 125 mmΔh = 150 mmCd = 0.99ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
15.理想气体定律中等
310 g CO₂P = 450 kPaT = 100 °CV = ?

310 g CO₂在 450 kPa 和 100 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 310 gM = 44.01 g/molP = 450 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
16.理想气体定律困难
Ar, M = 39.95 g/molP = 100 kPaT = 160 °Cρ = ?

按理想气体处理，求Ar在 100 kPa 和 160 °C 下的密度 ρ。

M = 39.95 g/molP = 100 kPaT = 160 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
17.热机和制冷机中等
TH​ = 650 °CTL​ = 5 °CEQH​ = 1900 kJQL​W = ?

一台热机在 650 °C 的高温热源和 5 °C 的低温热源之间工作。 它吸收 1900 kJ 热量。求它最多能输出的功 Wmax。

TH = 650 °CTL = 5 °CQH = 1900 kJ
Wmax = kJ
18.热机和制冷机困难
TH​ = 350 °CTL​ = 20 °CEQH​ = 500 kJQL​ = 315 kJW = 185 kJ

一台热机每个循环从 350 °C 的热源吸收 500 kJ 热量，产生 185 kJ 的功，其余热量排向 20 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 Sgen。

TH = 350 °CTL = 20 °CQH = 500 kJW = 185 kJ
Sgen = kJ/K
19.波、声与光学中等
Pβ = ?r = 5 m

一个小扬声器向各个方向均匀辐射 0.2 W 的声功率。求 5 m 处的声强级 β。

P = 0.2 Wr = 5 mI0 = 10⁻¹² W/m²
β = dB
20.波、声与光学困难
λ = 600 nmd = 0.4 mmL = 2.5 m

波长为 600 nm 的光照射到相距 0.4 mm 的两条缝上。屏距离缝 2.5 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 600 nmd = 0.4 mmL = 2.5 m
Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: d = 102.2 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

反应距离

d1 = v₀·tr = 30·1.1 = 33 m

制动距离

d2 = v₀²/(2a) = 30²/(2·6.5) = 69.23 m

合计

d = 33 + 69.23 = 102.2 m

答案

d = 102.2 m
2.运动学

答案: d = 51.78 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.4 − t₁)
4.905·t₁² + 343·t₁ − 1166 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1166))/(2·4.905) = 3.249 s

深度

d = ½·9.81·3.249² = 51.78 m

答案

d = 51.78 m
3.牛顿定律

答案: a = 1.479 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.3·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2719) = 1.479 m/s²

答案

a = 1.479 m/s²
4.牛顿定律

答案: a = 4.765 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (19.62 − 2.943)/3.5 = 4.765 m/s²

答案

a = 4.765 m/s²
5.抛体运动

答案: H = 14.68 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 24·cos 45° = 16.97 m/s
vy = v0·sin θ = 24·sin 45° = 16.97 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：vy² = 2gH。

H = vy²/(2g) = 16.97²/(2·9.81) = 14.68 m

答案

H = 14.68 m
6.抛体运动

答案: H = 21.53 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

vy = 16·sin 20° = 5.472 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = vy²/(2g) = 5.472²/(2·9.81) = 1.526 m

离地面的高度

H = 20 + 1.526 = 21.53 m

答案

H = 21.53 m
7.功和能

答案: Wf = 60.12 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.766 = 18.79 N
F = μN = 0.2·18.79 = 3.757 N

克服摩擦做的功

Wf = F·d = 3.757·16 = 60.12 J

答案

Wf = 60.12 J
8.功和能

答案: x = 21.55 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(4 − 0.15·3) = 34.83 J

最大压缩量

½kx² = 34.83 → x = √(2·34.83/1500) = 0.2155 m = 21.55 cm

答案

x = 21.55 cm
9.动量与碰撞

答案: v′2 = −45 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 15·15 = 225 kg·m/s

碰撞后的动量

225 = 10·45 + 5·v′2
v′2 = (225 − 450)/5 = −45 m/s

答案

v′2 = −45 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

10.动量与碰撞

答案: Favg = 1100 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(13 + 27) = 22 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 22/0.02 = 1100 N

答案

Favg = 1100 N
11.静水压力

答案: F = 176.6 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
闸门d = 1.5 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·6 = 176.6 kN

答案

F = 176.6 kN
12.静水压力

答案: F = 159.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 2.5·2 = 5 m²
闸门d = 2 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·5 = 159.4 kN

答案

F = 159.4 kN
13.连续性和伯努利

答案: p2 = 311.9 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(150/100)² = 4.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 4.5²)/1000 = −8.125 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 320 + (−8.125) = 311.9 kPa

答案

p2 = 311.9 kPa
14.连续性和伯努利

答案: Q = 76.41 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.15 = 18541 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 125/250 = 0.5
v2 = √(2·18541/(1000·(1 − 0.0625))) = 6.289 m/s

实际流量

Q = Cd·A2·v2 = 0.99·0.01227·6.289 = 0.07641 m³/s = 76.41 L/s

答案

Q = 76.41 L/s
15.理想气体定律

答案: V = 48.56 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 310/44.01 = 7.044 mol
T = 100 + 273.15 = 373.1 K

体积

V = nRT/P = 7.044·8.314·373.1/450 = 48.56 L

答案

V = 48.56 L
16.理想气体定律

答案: ρ = 1.109 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 160 + 273.15 = 433.1 K

密度

ρ = 100·39.95/(8.314·433.1) = 1.109 kg/m³

答案

ρ = 1.109 kg/m³
17.热机和制冷机

答案: Wmax = 1328 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 650 + 273.15 = 923.1 K
TL = 5 + 273.15 = 278.1 K

卡诺效率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 278.1/923.1 = 69.87 %

最大功

Wmax = ηmax·QH = 0.6987·1900 = 1328 kJ

答案

Wmax = 1328 kJ
18.热机和制冷机

答案: Sgen = 0.2722 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 QH/TH，低温热源得到 QL/TL。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

QL = QH − W = 500 − 185 = 315 kJ

绝对温度

TH = 350 + 273.15 = 623.1 K
TL = 20 + 273.15 = 293.1 K

热源的熵变

ΔSH = −500/623.1 = −0.8024 kJ/K
ΔSL = 315/293.1 = 1.075 kJ/K
Sgen = 1.075 − 0.8024 = 0.2722 kJ/K

答案

Sgen = 0.2722 kJ/K

Sgen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: β = 88.04 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

声强

I = P/(4πr²) = 0.0006366 W/m²

难度

β = 10·log₁₀(0.0006366/10⁻¹²) = 88.04 dB

答案

β = 88.04 dB
20.波、声与光学

答案: Δy = 3.75 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·2.5/(0.4 × 10⁻³) = 3.75 mm

答案

Δy = 3.75 mm

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