大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 120 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 20° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 20 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 110 N 的水平力拉前面 6 kg 的物块；8 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 8 kgm₂ = 6 kgF = 110 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 12 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶部以 33 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 33 m/sθ = 35°h = 20 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 6 m，动摩擦因数为 0.3。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 40°μ = 0.3d = 6 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一辆 5 kg 的小车从光滑轨道上 4 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 1 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 5 kgh = 4 mR = 1 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 11 m/s 运动的 0.5 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一辆 900 kg 的汽车撞上一辆停放的 1300 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 16.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 900 kgm₂ = 1300 kgd = 16.5 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 4 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 25 mm。宽段压强为 270 kPa，流速为 1.25 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 270 kPav₁ = 1.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 150 kPa。水从水面以下 3 m 处直径 30 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求射流速度 v。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 150 kPa (表压)h = 3 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.理想气体定律中等

20 g CO₂在 550 kPa 和 50 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 20 gM = 44.01 g/molP = 550 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的CH₄从 200 kPa、10 L、30 °C 变化到 350 kPa 和 90 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 200 kPaV₁ = 10 LT₁ = 30 °CP₂ = 350 kPaT₂ = 90 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机从 700 °C 的热源吸热，向 30 °C 的环境放热。其实际热效率为 52%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 700 °CT_L = 30 °Cη = 52%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 -10 °C 时将房屋保持在 20 °C，向房屋提供 13 kW 热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 20 °CT_L = -10 °CQ̇_H = 13 kW

COP_max =

19.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 12 cm 的薄会聚透镜前 15 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 15 cmf = 12 cm

m =

20.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 30 cm 的凹面镜前 8 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 8 cmR = 30 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 185.2 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·3) = 185.2 m

答案

s = 185.2 m

2.运动学

答案: d = 70.61 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1372 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1372))/(2·4.905) = 3.794 s

深度

d = ½·9.81·3.794² = 70.61 m

答案

d = 70.61 m

3.牛顿定律

答案: F = 85.54 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 67.1 + 18.44 = 85.54 N

答案

F = 85.54 N

4.牛顿定律

答案: a = 6.876 m/s²

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (110 − 13.73)/14 = 6.876 m/s²

答案

a = 6.876 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 1.403 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 35° = 9.83 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 35° = 6.883 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·6.883/9.81 = 1.403 s

答案

t = 1.403 s

6.抛体运动

答案: H = 38.26 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 33·sin 35° = 18.93 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 18.93²/(2·9.81) = 18.26 m

离地面的高度

H = 20 + 18.26 = 38.26 m

答案

H = 38.26 m

7.功和能

答案: W_f = 6.763 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.766 = 3.757 N

F = μN = 0.3·3.757 = 1.127 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.127·6 = 6.763 J

答案

W_f = 6.763 J

8.功和能

答案: N = 147.2 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(4 − 2) = 39.24 m²/s²

顶点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·39.24/1 − 49.05 = 147.2 N

答案

N = 147.2 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = 5.5 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (0.5 − 1.5)/(0.5 + 1.5)·11 = −5.5 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 1.5)·11 = 5.5 m/s

答案

v′₂ = 5.5 m/s

10.动量与碰撞

答案: v₁ = 39.34 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·16.5) = 16.09 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2200·16.09/900 = 39.34 m/s

答案

v₁ = 39.34 m/s

(141.6 km/h)

11.静水压力

答案: F = 104.8 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.75·2.25 = 104.8 kN

答案

F = 104.8 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 4.789 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·4.75·4.5 = 184.5 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·1.5³/12 = 0.8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.75 + 0.8438/(4.75·4.5) = 4.789 m

答案

y_cp = 4.789 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 207.5 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(75/25)² = 11.25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 11.25²)/1000 = −62.5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 270 + (−62.5) = 207.5 kPa

答案

p₂ = 207.5 kPa

14.连续性和伯努利

答案: v = 18.94 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(150000/1000 + 9.81·3)) = 18.94 m/s

答案

v = 18.94 m/s

15.理想气体定律

答案: V = 2.22 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 20/44.01 = 0.4544 mol

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

体积

V = nRT/P = 0.4544·8.314·323.1/550 = 2.22 L

答案

V = 2.22 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 6.845 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 303.1 K, T₂ = 363.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(200/350)·(363.1/303.1) = 6.845 L

答案

V₂ = 6.845 L

17.热机和制冷机

答案: η_II = 75.53 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 303.1/973.1 = 68.85 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 52/68.85 = 75.53 %

答案

η_II = 75.53 %

18.热机和制冷机

答案: COP_max = 9.772

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 263.1) = 9.772

答案

COP_max = 9.772

19.波、声与光学

答案: m = −4

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/15

d_i = 60 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −60/15 = −4

答案

m = −4

20.波、声与光学

答案: d_i = −17.14 cm

焦距

f = R/2 = 15 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/8

d_i = −17.14 cm

光线图

镜后的虚像

答案

d_i = −17.14 cm

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