大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 2.75 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 700 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 2.75 m/s²s = 700 m

v = m/s

2.运动学困难

球 A 从 15 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 25 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 15 mv_0B = 25 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 35° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 20 kgθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 5 kgm₂ = 2 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 24 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 16 m/sθ = 45°h = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 1000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.25 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 4 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.25 kgk = 1000 N/mx = 4 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 4 kgh = 2 mL = 3.5 mμ = 0.25k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 15 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 1.5 kgh = 15 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.动量与碰撞困难

一辆 1300 kg 的汽车撞上一辆停放的 1400 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 5.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1300 kgm₂ = 1400 kgd = 5.5 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 4 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 150 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 150 kPav₁ = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个水平文丘里流量计（入口 250 mm，喉部 125 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 260 mm。流量系数为 0.98。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmΔh = 260 mmC_d = 0.98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

容积为 30 L 的容器中装有 250 g N₂，温度为 35 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 250 gM = 28.01 g/molV = 30 LT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求He在 300 kPa 和 130 °C 下的密度 ρ。

M = 4.003 g/molP = 300 kPaT = 130 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 550 °C 的高温热源和 35 °C 的低温热源之间工作。它吸收 1600 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 550 °CT_L = 35 °CQ_H = 1600 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 0 °C 时将房屋保持在 22 °C，向房屋提供 14 kW 热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 22 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 14 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

两端固定的弦的第 2 次谐波必须为 185 Hz；波在其上以 120 m/s 传播。求其长度 L。

v = 120 m/sn = 2f₂ = 185 Hz

L = m

20.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 40 cm 的凸面镜前 20 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 20 cmR = 40 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: v = 62.05 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·2.75·700) = 62.05 m/s

答案

v = 62.05 m/s

(223.4 km/h)

2.运动学

答案: t = 0.6 s

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

15 − ½g·t² = 25·t − ½g·t² → t = 15/25 = 0.6 s

答案

t = 0.6 s

3.牛顿定律

答案: F = 144.7 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 112.5 + 32.14 = 144.7 N

答案

F = 144.7 N

4.牛顿定律

答案: a = 1.401 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 9.81)/7 = 1.401 m/s²

答案

a = 1.401 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 58.72 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 45° = 16.97 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 45° = 16.97 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·16.97/9.81 = 3.46 s

水平距离

x = v_x·t = 16.97·3.46 = 58.72 m

答案

x = 58.72 m

6.抛体运动

答案: t = 4.063 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 45° = 11.31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 45° = 11.31 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 11.31·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11.31 + √(128 + 686.7))/9.81 = 4.063 s

答案

t = 4.063 s

7.功和能

答案: h = 0.3262 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 4 cm = 0.04 m

½kx² = ½·1000·0.04² = 0.8 J

高度

m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N

h = ½kx²/(mg) = 0.8/2.453 = 0.3262 m

答案

h = 0.3262 m

8.功和能

答案: v = 4.698 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(2 − 0.25·3.5) = 44.15 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.125) = 4.698 m/s

答案

v = 4.698 m/s

9.动量与碰撞

答案: v = 323.4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.15) = 1.716 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 1.5)·1.716/0.008 = 323.4 m/s

答案

v = 323.4 m/s

10.动量与碰撞

答案: v₁ = 19.3 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·5.5) = 9.291 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2700·9.291/1300 = 19.3 m/s

答案

v₁ = 19.3 m/s

(69.47 km/h)

11.静水压力

答案: F = 82.77 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·3.75 = 82.77 kN

答案

F = 82.77 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 4.519 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4.5·1 = 55.62 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0.08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.5 + 0.08333/(4.5·1) = 4.519 m

答案

y_cp = 4.519 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 148.1 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(150/75)² = 2 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 2²)/1000 = −1.875 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 150 + (−1.875) = 148.1 kPa

答案

p₂ = 148.1 kPa

14.连续性和伯努利

答案: Q = 99.58 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.26 = 32138 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 125/250 = 0.5

v₂ = √(2·32138/(1000·(1 − 0.0625))) = 8.28 m/s

实际流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.98·0.01227·8.28 = 0.09958 m³/s = 99.58 L/s

答案

Q = 99.58 L/s

15.理想气体定律

答案: P = 762.2 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 250/28.01 = 8.925 mol

T = 35 + 273.15 = 308.1 K

压强

P = nRT/V = 8.925·8.314·308.1/0.03 = 762.2 kPa

答案

P = 762.2 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 0.3583 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 130 + 273.15 = 403.1 K

密度

ρ = 300·4.003/(8.314·403.1) = 0.3583 kg/m³

答案

ρ = 0.3583 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: W_max = 1001 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 550 + 273.15 = 823.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308.1/823.1 = 62.56 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.6256·1600 = 1001 kJ

答案

W_max = 1001 kJ

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 1.044 kW

绝对温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295.1/(295.1 − 273.1) = 13.42

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 14/13.42 = 1.044 kW

答案

Ẇ_min = 1.044 kW

19.波、声与光学

答案: L = 0.6486 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 120/185 = 0.6486 m

长度

L = nλ/2 = 2·0.6486/2 = 0.6486 m

答案

L = 0.6486 m

20.波、声与光学

答案: d_i = −10 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = −R/2 = −20 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−20) − 1/20

d_i = −10 cm

光线图

镜后的虚像

答案

d_i = −10 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers