大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 2.75 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 700 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 2.75 m/s²s = 700 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 5 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 5 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

质量为 10 kg 和 1 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 10 kgm₂ = 1 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 40° 的斜面上有一个 2.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 8.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 8.5 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 20 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 14 m/sθ = 50°h = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个 5 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 20 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 5 kgθ = 35°μ = 0.2d = 20 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 10 kg 的物块从 25° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 85 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.3。求物块沿斜坡向上移动 2 m 后的速度 v。

m = 10 kgF = 85 Nθ = 25°μ = 0.3d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一个以 12 m/s 水平运动的 19 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。16 kg 的碎片以 67 m/s 继续向前运动。求 3 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 19 kgu = 12 m/sm₁ = 16 kgv′₁ = 67 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 17 m/s 撞到墙上，并以 16 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.35 kgv_in = 17 m/sv_out = 16 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 3 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

风洞中的皮托静压管测得总压与静压之差为 1000 Pa。空气密度为 1.2 kg/m³。求风速 v。

p₀ − p = 1000 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

14.连续性和伯努利困难

一个水平文丘里流量计（入口 300 mm，喉部 150 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 350 mm。流量系数为 0.97。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmΔh = 350 mmC_d = 0.97ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

100 g CO₂在 350 kPa 和 10 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 100 gM = 44.01 g/molP = 350 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的CH₄从 350 kPa、5 L、20 °C 变化到 750 kPa 和 240 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 350 kPaV₁ = 5 LT₁ = 20 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 240 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 300 °C 的高温热源和 10 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 300 °CT_L = 10 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 35 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -25 °C，以 3 kW 从冷藏室移走热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 35 °CT_L = -25 °CQ̇_L = 3 kW

COP_max =

19.波、声与光学中等

观察者以 20 m/s 的速度远离频率为 400 Hz 的静止声源运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 400 Hzv = 343 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

波长为 500 nm 的光垂直照射在每毫米 800 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ₁。

N = 800 mm⁻¹λ = 500 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: v = 62.05 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·2.75·700) = 62.05 m/s

答案

v = 62.05 m/s

(223.4 km/h)

2.运动学

答案: h_max = 31.27 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 5²/(2·9.81) = 1.274 m

离地面的高度

h_max = 30 + 1.274 = 31.27 m

答案

h_max = 31.27 m

3.牛顿定律

答案: a = 8.026 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (10 − 1)·9.81/(10 + 1) = 8.026 m/s²

答案

a = 8.026 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 6.147 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 83.39 N

m₁·g·sin θ = 15.76 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (83.39 − 15.76 − 0)/11 = 6.147 m/s²

答案

a = 6.147 m/s²

5.抛体运动

答案: H = 3.641 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 25° = 18.13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 25° = 8.452 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 8.452²/(2·9.81) = 3.641 m

答案

H = 3.641 m

6.抛体运动

答案: x = 30.5 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 50° = 8.999 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 50° = 10.72 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 20 + 10.72·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.72 + √(115 + 392.4))/9.81 = 3.389 s

水平距离

x = v_x·t = 8.999·3.389 = 30.5 m

答案

x = 30.5 m

7.功和能

答案: W_f = 160.7 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.8192 = 40.18 N

F = μN = 0.2·40.18 = 8.036 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 8.036·20 = 160.7 J

答案

W_f = 160.7 J

8.功和能

答案: v = 2.598 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

mg·sin θ = 41.46 N

μ·mg·cos θ = 26.67 N

功–能关系

½mv² = (85 − 68.13)·2 = 33.74 J

v = √(2·33.74/10) = 2.598 m/s

答案

v = 2.598 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = −281.3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 19·12 = 228 kg·m/s

碰撞后的动量

228 = 16·67 + 3·v′₂

v′₂ = (228 − 1072)/3 = −281.3 m/s

答案

v′₂ = −281.3 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

10.动量与碰撞

答案: J = 11.55 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(16 + 17) = 11.55 N·s

答案

J = 11.55 N·s

11.静水压力

答案: F = 95.65 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·3 = 95.65 kN

答案

F = 95.65 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 4.667 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4.5·4.5 = 203.6 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.5 + 3.375/(4.5·4.5) = 4.667 m

答案

y_cp = 4.667 m

13.连续性和伯努利

答案: v = 40.82 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·1000/1.2) = 40.82 m/s

答案

v = 40.82 m/s

14.连续性和伯努利

答案: Q = 164.7 L/s

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.35 = 43262 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 150/300 = 0.5

v₂ = √(2·43262/(1000·(1 − 0.0625))) = 9.607 m/s

实际流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.97·0.01767·9.607 = 0.1647 m³/s = 164.7 L/s

答案

Q = 164.7 L/s

15.理想气体定律

答案: V = 15.28 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 100/44.01 = 2.272 mol

T = 10 + 273.15 = 283.1 K

体积

V = nRT/P = 2.272·8.314·283.1/350 = 15.28 L

答案

V = 15.28 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 4.084 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 293.1 K, T₂ = 513.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(350/750)·(513.1/293.1) = 4.084 L

答案

V₂ = 4.084 L

17.热机和制冷机

答案: η_max = 50.6 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283.1/573.1 = 50.6 %

答案

η_max = 50.6 %

18.热机和制冷机

答案: COP_max = 4.136

绝对温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 248.1/(308.1 − 248.1) = 4.136

答案

COP_max = 4.136

19.波、声与光学

答案: f′ = 376.7 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 400·(343 − 20)/(343 + 0)

f′ = 376.7 Hz

答案

f′ = 376.7 Hz

20.波、声与光学

答案: θ₁ = 23.58 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/800 mm = 1.25 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·500 × 10⁻⁹/(1.25 × 10⁻⁶) = 0.4

θ = 23.58°

答案

θ₁ = 23.58°

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