大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 54 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 54 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 17 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 17 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 4.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 10 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 4.5 m/sd = 10 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 55 N 的水平力拉前面 7 kg 的物块；8 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 8 kgm₂ = 7 kgF = 55 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 35° 的角度抛出，落在 85 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 35°R = 85 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 30 m/sθ = 15°h = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 6 m，动摩擦因数为 0.35。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 45°μ = 0.35d = 6 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 1 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2 kgh = 1 mL = 2.5 mμ = 0.2k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 23 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 3 kgh = 23 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.动量与碰撞困难

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 1.6 m 的轻绳悬挂的 5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 25°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 5 kgL = 1.6 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水从一个大型敞口水箱经直径 40 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 1 m，流量系数为 0.62。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 40 mmh = 1 mC_d = 0.62g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

一个水平文丘里流量计（入口 80 mm，喉部 40 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 60 mm。流量系数为 0.95。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d₁ = 80 mmd₂ = 40 mmΔh = 60 mmC_d = 0.95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

容积为 20 L 的容器中装有 110 g CO₂，温度为 0 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 110 gM = 44.01 g/molV = 20 LT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的Ar从 300 kPa、2 L、20 °C 变化到 700 kPa 和 150 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 300 kPaV₁ = 2 LT₁ = 20 °CP₂ = 700 kPaT₂ = 150 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 425 °C 的热源吸收 4400 kJ 热量，放出 1911 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 425 °CQ_H = 4400 kJQ_L = 1911 kJ

T_L = °C

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 25 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -25 °C，以 4 kW 从冷藏室移走热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 25 °CT_L = -25 °CQ̇_L = 4 kW

COP_max =

19.波、声与光学中等

两端开口的管的第 2 次谐波必须为 686 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 2f₂ = 686 Hz

L = m

20.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 10 cm 的凹面镜前 15 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 15 cmR = 10 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 18.75 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·6) = 18.75 m

答案

s = 18.75 m

2.运动学

答案: h_max = 44.73 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 17²/(2·9.81) = 14.73 m

离地面的高度

h_max = 30 + 14.73 = 44.73 m

答案

h_max = 44.73 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.1032

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 4.5²/(2·10) = 1.012 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.012/9.81 = 0.1032

答案

μ = 0.1032

4.牛顿定律

答案: T = 29.33 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (55 − 44.15)/15 = 0.7237 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 8·(0.7237 + 2.943) = 29.33 N

答案

T = 29.33 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: v₀ = 29.79 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·85/sin 70°) = 29.79 m/s

答案

v₀ = 29.79 m/s

6.抛体运动

答案: x = 78.56 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 15° = 28.98 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 15° = 7.765 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 15 + 7.765·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.765 + √(60.29 + 294.3))/9.81 = 2.711 s

水平距离

x = v_x·t = 28.98·2.711 = 78.56 m

答案

x = 78.56 m

7.功和能

答案: W_f = 36.42 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.7071 = 17.34 N

F = μN = 0.35·17.34 = 6.07 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 6.07·6 = 36.42 J

答案

W_f = 36.42 J

8.功和能

答案: v = 3.132 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(1 − 0.2·2.5) = 9.81 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·0.5) = 3.132 m/s

答案

v = 3.132 m/s

9.动量与碰撞

答案: v = 639.4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.23) = 2.124 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 3)·2.124/0.01 = 639.4 m/s

答案

v = 639.4 m/s

10.动量与碰撞

答案: v = 430.5 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.6·(1 − cos 25°) = 0.1499 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1499) = 1.715 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 5.02·1.715/0.02 = 430.5 m/s

答案

v = 430.5 m/s

11.静水压力

答案: F = 147.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·6 = 147.2 kN

答案

F = 147.2 kN

12.静水压力

答案: F = 497.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·5.5·9 = 497.7 kN

答案

F = 497.7 kN

13.连续性和伯努利

答案: Q = 3.451 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.62·0.001257·4.429 = 0.003451 m³/s = 3.451 L/s

答案

Q = 3.451 L/s

14.连续性和伯努利

答案: Q = 4.749 L/s

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.06 = 7416 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 40/80 = 0.5

v₂ = √(2·7416/(1000·(1 − 0.0625))) = 3.978 m/s

实际流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.95·0.001257·3.978 = 0.004749 m³/s = 4.749 L/s

答案

Q = 4.749 L/s

15.理想气体定律

答案: P = 283.8 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 110/44.01 = 2.499 mol

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

压强

P = nRT/V = 2.499·8.314·273.1/0.02 = 283.8 kPa

答案

P = 283.8 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 1.237 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 293.1 K, T₂ = 423.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(300/700)·(423.1/293.1) = 1.237 L

答案

V₂ = 1.237 L

17.热机和制冷机

答案: T_L = 30.07 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 425 + 273.15 = 698.1 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 698.1·1911/4400 = 303.2 K = 30.07 °C

答案

T_L = 30.07 °C

18.热机和制冷机

答案: COP_max = 4.963

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 248.1/(298.1 − 248.1) = 4.963

答案

COP_max = 4.963

19.波、声与光学

答案: L = 0.5 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/686 = 0.5 m

长度

L = nλ/2 = 2·0.5/2 = 0.5 m

答案

L = 0.5 m

20.波、声与光学

答案: d_i = 7.5 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 5 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/15

d_i = 7.5 cm

光线图

镜前的实像

答案

d_i = 7.5 cm

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