大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 100 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 35 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 19 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 35 mv_0B = 19 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 25 kg 的雪橇被一根与水平方向成 35° 向上的绳子以 140 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 25 kgF = 140 Nθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 60 N 的水平力拉前面 7 kg 的物块；9 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 9 kgm₂ = 7 kgF = 60 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 28 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶部以 20 m/s、与水平方向成 30° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 20 m/sθ = 30°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.35。求它沿斜面滑行 14 m 后的速度 v。

θ = 40°μ = 0.35d = 14 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.功和能困难

一个 8 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.3）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 6 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 2 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 8 kgm₂ = 6 kgμ = 0.3d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一辆以 25 m/s 行驶的 2000 kg 汽车撞上一辆静止的 1900 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 2000 kgv₁ = 25 m/sm₂ = 1900 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 8 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.15 kgv_in = 8 m/sv_out = 19 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 40 mm。宽段压强为 110 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 110 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个水平文丘里流量计（入口 100 mm，喉部 60 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 200 mm。流量系数为 0.95。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmΔh = 200 mmC_d = 0.95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

310 g CH₄在 200 kPa 和 0 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 310 gM = 16.04 g/molP = 200 kPaT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的He从 300 kPa、10 L、25 °C 变化到 100 kPa 和 60 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 300 kPaV₁ = 10 LT₁ = 25 °CP₂ = 100 kPaT₂ = 60 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 675 °C 的高温热源和 20 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 675 °CT_L = 20 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

两台卡诺热机串联工作。热机 A 从 1200 °C 的热源吸热，向温度为 T_m 的中间热源放热。热机 B 吸收这些热量的全部，并向 20 °C 的热源放热。两台热机的热效率相同。求 T_m，以 °C 表示。

T_H = 1200 °CT_L = 20 °C

T_m = °C

19.波、声与光学中等

两端固定的弦长 1.5 m；波在其上以 240 m/s 传播。求其第 5 次谐波的频率 f₅。

v = 240 m/sn = 5L = 1.5 m

f₅ = Hz

20.波、声与光学困难

一个每毫米 500 条刻线的光栅，在偏离直进方向 52.9° 处出现某条谱线的第 3 级极大。求该谱线的波长 λ。

N = 500 mm⁻¹θ₃ = 52.9°m = 3

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: s = 48.23 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·8) = 48.23 m

答案

s = 48.23 m

2.运动学

答案: y = 18.36 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

35 − ½g·t² = 19·t − ½g·t² → t = 35/19 = 1.842 s

相遇高度

y = 19·1.842 − ½·9.81·1.842² = 18.36 m

答案

y = 18.36 m

3.牛顿定律

答案: a = 2.608 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 245.3 − 140·sin 35° = 164.9 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 114.7 − 49.48

a = 65.2/25 = 2.608 m/s²

答案

a = 2.608 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 2.279 m/s²

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (60 − 23.54)/16 = 2.279 m/s²

答案

a = 2.279 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 51.37 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 20° = 26.31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 20° = 9.577 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·9.577/9.81 = 1.952 s

水平距离

x = v_x·t = 26.31·1.952 = 51.37 m

答案

x = 51.37 m

6.抛体运动

答案: H = 45.1 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 20·sin 30° = 10 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 10²/(2·9.81) = 5.097 m

离地面的高度

H = 40 + 5.097 = 45.1 m

答案

H = 45.1 m

7.功和能

答案: v = 10.14 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·14·(0.6428 − 0.35·0.766)) = 10.14 m/s

答案

v = 10.14 m/s

8.功和能

答案: v = 3.177 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 58.86·2 = 117.7 J

μ·m₁g·d = 0.3·78.48·2 = 47.09 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 70.63 → v = √(2·70.63/14) = 3.177 m/s

答案

v = 3.177 m/s

9.动量与碰撞

答案: ΔK = 304487 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·25/3900 = 12.82 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·2000·25² = 625000 J

K_after = ½·3900·12.82² = 320513 J

损失的能量

ΔK = 625000 − 320513 = 304487 J

答案

ΔK = 304487 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 810 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(19 + 8) = 4.05 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 4.05/0.005 = 810 N

答案

F_avg = 810 N

11.静水压力

答案: F = 242.8 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.5·4.5 = 242.8 kN

答案

F = 242.8 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 3.25 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·9 = 264.9 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 6.75/(3·9) = 3.25 m

答案

y_cp = 3.25 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 87.28 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(75/40)² = 7.031 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 7.031²)/1000 = −22.72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 110 + (−22.72) = 87.28 kPa

答案

p₂ = 87.28 kPa

14.连续性和伯努利

答案: Q = 20.24 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.2 = 24721 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 60/100 = 0.6

v₂ = √(2·24721/(1000·(1 − 0.1296))) = 7.537 m/s

实际流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.95·0.002827·7.537 = 0.02024 m³/s = 20.24 L/s

答案

Q = 20.24 L/s

15.理想气体定律

答案: V = 219.5 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 310/16.04 = 19.33 mol

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

体积

V = nRT/P = 19.33·8.314·273.1/200 = 219.5 L

答案

V = 219.5 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 33.52 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 298.1 K, T₂ = 333.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(300/100)·(333.1/298.1) = 33.52 L

答案

V₂ = 33.52 L

17.热机和制冷机

答案: η_max = 69.08 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 675 + 273.15 = 948.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293.1/948.1 = 69.08 %

答案

η_max = 69.08 %

18.热机和制冷机

答案: T_m = 384 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 1200 + 273.15 = 1473 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

效率相等

由 1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m 得 T_m² = T_H·T_L。

T_m = √(1473·293.1) = 657.2 K = 384 °C

答案

T_m = 384 °C

19.波、声与光学

答案: f₅ = 400 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·1.5/5 = 0.6 m

频率

f = v/λ = 240/0.6 = 400 Hz

答案

f₅ = 400 Hz

20.波、声与光学

答案: λ = 531.7 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = d·sin θ/m = 2 × 10⁻⁶·sin 52.9°/3 = 531.7 nm

答案

λ = 531.7 nm

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