大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 4 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1100 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 4 m/s²s = 1100 m

v = m/s

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1 m/s² 加速 8 s，然后匀速行驶 29 s，最后以 3.5 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 1 m/s²t₁ = 8 st₂ = 29 sa₃ = −3.5 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 7 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 7 kgθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 8 m/s 的速度开始沿 20° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 8 m/sθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 36 m/s 抛出，必须落在 125 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 36 m/sR = 125 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶部以 25 m/s、与水平方向成 25° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 25 m/sθ = 25°h = 20 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一个 2 kg 的球挂在长 0.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 70°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 2 kgL = 0.5 mθ = 70°g = 9.81 m/s²

T = N

8.功和能困难

一辆 10 kg 的小车从光滑轨道上 20 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 10 kgh = 20 mR = 5 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.动量与碰撞中等

一辆以 21 m/s 行驶的 600 kg 汽车撞上一辆静止的 1600 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 600 kgv₁ = 21 m/sm₂ = 1600 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

10.动量与碰撞困难

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用长 1.2 m 的轻绳悬挂的 5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 20°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 5 kgL = 1.2 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

风洞中的皮托静压管测得总压与静压之差为 300 Pa。空气密度为 1.2 kg/m³。求风速 v。

p₀ − p = 300 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 40 mm，同时升高 2 m。截面 1 处压强为 400 kPa，流速为 3 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 400 kPav₁ = 3 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 20 L 的容器中装有 110 g CO₂，温度为 60 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 110 gM = 44.01 g/molV = 20 LT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的N₂从 200 kPa、2 L、25 °C 变化到 700 kPa 和 200 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 200 kPaV₁ = 2 LT₁ = 25 °CP₂ = 700 kPaT₂ = 200 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 675 °C 的高温热源和 15 °C 的低温热源之间工作。它吸收 4300 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 675 °CT_L = 15 °CQ_H = 4300 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台热泵从 -5 °C 的热源吸热，向 45 °C 的供暖系统提供 5.5 kW 的热量。其实际 COP 为这两个温度之间卡诺 COP 的 50%。求它消耗的电功率 Ẇ。

T_H = 45 °CT_L = -5 °Cη_II = 50%Q̇_H = 5.5 kW

Ẇ = kW

19.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 10 cm 的薄会聚透镜前 50 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 50 cmf = 10 cm

d_i = cm

20.波、声与光学困难

静止的传感器向以 5 m/s 的速度靠近的汽车发射 25 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 f_b（声速为 343 m/s）。

f = 25 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.运动学

答案: v = 93.81 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·4·1100) = 93.81 m/s

答案

v = 93.81 m/s

(337.7 km/h)

2.运动学

答案: s = 273.1 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 1·8 = 8 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·1·8² = 32 m

s₂ = 8·29 = 232 m

s₃ = 8²/(2·3.5) = 9.143 m

总距离

s = 32 + 232 + 9.143 = 273.1 m

答案

s = 273.1 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.427 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.25·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1915) = 4.427 m/s²

答案

a = 4.427 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 6.754 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 20° + 0.15·cos 20°) = 4.738 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·4.738) = 6.754 m

答案

d = 6.754 m

5.抛体运动

答案: θ = 35.56 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·125/36² = 0.9462

相角

2θ = 71.12° → θ = 35.56°

答案

θ = 35.56°

另一个解为 90° − θ = 54.44°。

6.抛体运动

答案: H = 25.69 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 25·sin 25° = 10.57 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 10.57²/(2·9.81) = 5.69 m

离地面的高度

H = 20 + 5.69 = 25.69 m

答案

H = 25.69 m

7.功和能

答案: T = 45.44 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 70°) = 6.455 m²/s²

最低点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

T = mg + mv²/L = 19.62 + 2·6.455/0.5 = 45.44 N

答案

T = 45.44 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 45.44 N。

8.功和能

答案: N = 294.3 N

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(20 − 10) = 196.2 m²/s²

顶点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

N = mv²/R − mg = 10·196.2/5 − 98.1 = 294.3 N

答案

N = 294.3 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

9.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 72.73 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·21/2200 = 5.727 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·600·21² = 132300 J

K_after = ½·2200·5.727² = 36082 J

损失的比例

ΔK/K = 96218/132300 = 72.73 %

答案

ΔK/K = 72.73 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: v = 1193 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.2·(1 − cos 20°) = 0.07237 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.07237) = 1.192 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 5.005·1.192/0.005 = 1193 m/s

答案

v = 1193 m/s

11.静水压力

答案: F = 147.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5·3 = 147.2 kN

答案

F = 147.2 kN

12.静水压力

答案: F = 83.43 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.25·3 = 83.43 kN

答案

F = 83.43 kN

13.连续性和伯努利

答案: v = 22.36 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·300/1.2) = 22.36 m/s

答案

v = 22.36 m/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 329.3 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(75/40)² = 10.55 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 10.55²)/1000 = −51.12 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 400 + (−51.12) − 19.62 = 329.3 kPa

答案

p₂ = 329.3 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 346.1 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 110/44.01 = 2.499 mol

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

压强

P = nRT/V = 2.499·8.314·333.1/0.02 = 346.1 kPa

答案

P = 346.1 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 0.9068 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 298.1 K, T₂ = 473.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(200/700)·(473.1/298.1) = 0.9068 L

答案

V₂ = 0.9068 L

17.热机和制冷机

答案: W_max = 2993 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 675 + 273.15 = 948.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/948.1 = 69.61 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.6961·4300 = 2993 kJ

答案

W_max = 2993 kJ

18.热机和制冷机

答案: Ẇ = 1.729 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 45 + 273.15 = 318.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

卡诺 COP 和实际 COP

COP_max = 318.1/(318.1 − 268.1) = 6.363

COP = 0.5·6.363 = 3.181

输入功率

Ẇ = Q̇_H/COP = 5.5/3.181 = 1.729 kW

答案

Ẇ = 1.729 kW

19.波、声与光学

答案: d_i = 12.5 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/50

d_i = 12.5 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 12.5 cm

20.波、声与光学

答案: f_b = 739.6 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 25000·(343 + 5)/343 = 25364 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 5) = 25740 Hz

拍频

f_b = |f″ − f| = 739.6 Hz

答案

f_b = 739.6 Hz

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