大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 50 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2.5 m/s² 加速 12 s，然后匀速行驶 30 s，最后以 3 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 12 st₂ = 30 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 50 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 40° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 50 kgθ = 40°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 1.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 1.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 1.5 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 18 m/s 抛出，必须落在 15 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 18 m/sR = 15 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶部以 28 m/s、与水平方向成 25° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 28 m/sθ = 25°h = 15 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一辆 800 kg 的汽车以恒定的 90 km/h 驶上 3° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 800 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 800 kgθ = 3°F_r = 800 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 4 kgh = 3.5 mL = 3 mμ = 0.3k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一个以 28 m/s 水平运动的 17 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。8 kg 的碎片以 43 m/s 继续向前运动。求 9 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 17 kgu = 28 m/sm₁ = 8 kgv′₁ = 43 m/sm₂ = 9 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用长 0.5 m 的轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 35°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 1 kgL = 0.5 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水以 5 L/s 流过一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 75 mm。窄段的压强为 100 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 5 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 100 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 190 kPa。水从水面以下 4.5 m 处直径 20 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求射流速度 v。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 190 kPa (表压)h = 4.5 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.理想气体定律中等

240 g Ar在 350 kPa 和 85 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 240 gM = 39.95 g/molP = 350 kPaT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求CH₄在 550 kPa 和 190 °C 下的密度 ρ。

M = 16.04 g/molP = 550 kPaT = 190 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机从 800 °C 的热源吸热，向 25 °C 的环境放热。其实际热效率为 54%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 800 °CT_L = 25 °Cη = 54%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

一台卡诺热机从 400 °C 的热源吸收 110 kW 热量，并向 25 °C 的环境放热。它的全部功用于驱动一台卡诺制冷机，该制冷机从 -5 °C 的冷冻室排出热量，也向 25 °C 的环境放热。求从冷冻室排出热量的速率 Q̇_L。

T_H = 400 °CT₀ = 25 °CT_L = -5 °CQ̇_H = 110 kW

Q̇_L = kW

19.波、声与光学中等

一端封闭的管的第 3 次谐波必须为 214 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 3f₃ = 214 Hz

L = m

20.波、声与光学困难

波长为 600 nm 的光照射到相距 0.4 mm 的两条缝上。屏距离缝 2.5 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 600 nmd = 0.4 mmL = 2.5 m

Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 3.968 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13.89/3.5 = 3.968 s

答案

t = 3.968 s

2.运动学

答案: s = 1230 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·12 = 30 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·2.5·12² = 180 m

s₂ = 30·30 = 900 m

s₃ = 30²/(2·3) = 150 m

总距离

s = 180 + 900 + 150 = 1230 m

答案

s = 1230 m

3.牛顿定律

答案: F = 371.6 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 315.3 + 56.36 = 371.6 N

答案

F = 371.6 N

4.牛顿定律

答案: T = 12.31 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 14.71 N

m₁·g·sin θ = 7.357 N

μ·m₁·g·cos θ = 2.549 N

系统的加速度

a = (14.71 − 7.357 − 2.549)/3 = 1.603 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 1.5·(9.81 − 1.603) = 12.31 N

答案

T = 12.31 N

5.抛体运动

答案: θ = 13.51 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·15/18² = 0.4542

相角

2θ = 27.01° → θ = 13.51°

答案

θ = 13.51°

另一个解为 90° − θ = 76.49°。

6.抛体运动

答案: H = 22.14 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 28·sin 25° = 11.83 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 11.83²/(2·9.81) = 7.137 m

离地面的高度

H = 15 + 7.137 = 22.14 m

答案

H = 22.14 m

7.功和能

答案: P = 30.27 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 800·9.81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 3° = 410.7 N

F = 410.7 + 800 = 1211 N

功率

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 1211·25 = 30268 W = 30.27 kW

答案

P = 30.27 kW

8.功和能

答案: v = 7.142 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(3.5 − 0.3·3) = 102 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.6) = 7.142 m/s

答案

v = 7.142 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = 14.67 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 17·28 = 476 kg·m/s

碰撞后的动量

476 = 8·43 + 9·v′₂

v′₂ = (476 − 344)/9 = 14.67 m/s

答案

v′₂ = 14.67 m/s

10.动量与碰撞

答案: v = 134.5 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.5·(1 − cos 35°) = 0.09042 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.09042) = 1.332 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 1.01·1.332/0.01 = 134.5 m/s

答案

v = 134.5 m/s

11.静水压力

答案: F = 51.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·3 = 51.5 kN

答案

F = 51.5 kN

12.静水压力

答案: F = 60.33 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2·3 = 60.33 kN

答案

F = 60.33 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₁ = 100.4 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.005/0.007854 = 0.6366 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.005/0.004418 = 1.132 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 100 + ½·1000·(1.132² − 0.6366²)/1000 = 100 + 0.4378 = 100.4 kPa

答案

p₁ = 100.4 kPa

14.连续性和伯努利

答案: v = 21.64 m/s

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(190000/1000 + 9.81·4.5)) = 21.64 m/s

答案

v = 21.64 m/s

15.理想气体定律

答案: V = 51.11 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 240/39.95 = 6.008 mol

T = 85 + 273.15 = 358.1 K

体积

V = nRT/P = 6.008·8.314·358.1/350 = 51.11 L

答案

V = 51.11 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 2.291 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 190 + 273.15 = 463.1 K

密度

ρ = 550·16.04/(8.314·463.1) = 2.291 kg/m³

答案

ρ = 2.291 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_II = 74.77 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 298.1/1073 = 72.22 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 54/72.22 = 74.77 %

答案

η_II = 74.77 %

18.热机和制冷机

答案: Q̇_L = 547.7 kW

绝对温度

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

T₀ = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

热机的功

η = 1 − 298.1/673.1 = 0.5571

Ẇ = 0.5571·110 = 61.28 kW

制冷机排出的热量

COP_R = 268.1/(298.1 − 268.1) = 8.938

Q̇_L = 8.938·61.28 = 547.7 kW

答案

Q̇_L = 547.7 kW

19.波、声与光学

答案: L = 1.202 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/214 = 1.603 m

长度

L = nλ/4 = 3·1.603/4 = 1.202 m

答案

L = 1.202 m

20.波、声与光学

答案: Δy = 3.75 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·2.5/(0.4 × 10⁻³) = 3.75 mm

答案

Δy = 3.75 mm

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