大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 24 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 4.5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 24 m/sa_police = 4.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 18 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 18 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 19 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 19 kgθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 140 N 的水平力拉前面 9 kg 的物块；10 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 10 kgm₂ = 9 kgF = 140 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 30 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 27 m/sθ = 25°h = 60 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 80 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。求制动距离 d。

v = 80 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

8.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2 kgh = 5 mL = 3 mμ = 0.15k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一辆以 6 m/s 行驶的 1300 kg 汽车撞上一辆静止的 1500 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1300 kgv₁ = 6 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.动量与碰撞困难

一个 0.2 kg 的小球以 10 m/s 撞到墙上，并以 13 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.2 kgv_in = 10 m/sv_out = 13 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 100 kPa，流速为 1.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 100 kPav₁ = 1.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 50 mm，同时升高 5 m。截面 1 处压强为 190 kPa，流速为 1.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 190 kPav₁ = 1.75 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

80 g He在 300 kPa 和 5 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 80 gM = 4.003 g/molP = 300 kPaT = 5 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的N₂从 250 kPa、20 L、20 °C 变化到 200 kPa 和 130 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 250 kPaV₁ = 20 LT₁ = 20 °CP₂ = 200 kPaT₂ = 130 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 675 °C 的高温热源和 35 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 675 °CT_L = 35 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台热机每个循环从 800 °C 的热源吸收 1000 kJ 热量，产生 520 kJ 的功，其余热量排向 10 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 S_gen。

T_H = 800 °CT_L = 10 °CQ_H = 1000 kJW = 520 kJ

S_gen = kJ/K

19.波、声与光学中等

一台机器在某点产生 60 dB 的声级。当 10 台相同的机器同时运行时（非相干声源），求该点的声级 β。

β₁ = 60 dBn = 10

β = dB

20.波、声与光学困难

用单色光照射相距 0.5 mm 的两条缝。在 2.5 m 外的屏上，第 5 条亮条纹距中央条纹 16.25 mm。求波长 λ。

d = 0.5 mmL = 2.5 my₅ = 16.25 mmm = 5

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: d = 256 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·24/4.5 = 10.67 s

距离

d = v·t = 24·10.67 = 256 m

答案

d = 256 m

此时警车的速度为 2v = 48 m/s。

2.运动学

答案: t = 4.16 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−10 = 18·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 18·t − 10 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (18 + √(18² + 2·9.81·10))/9.81 = 4.16 s

答案

t = 4.16 s

3.牛顿定律

答案: a = 2.812 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.15·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1359) = 2.812 m/s²

答案

a = 2.812 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 73.68 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (140 − 46.6)/19 = 4.916 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 10·(4.916 + 2.453) = 73.68 N

答案

T = 73.68 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: t = 4.685 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 50° = 19.28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 50° = 22.98 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·22.98/9.81 = 4.685 s

答案

t = 4.685 s

6.抛体运动

答案: x = 118.7 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 25° = 24.47 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 25° = 11.41 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 60 + 11.41·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11.41 + √(130.2 + 1177))/9.81 = 4.849 s

水平距离

x = v_x·t = 24.47·4.849 = 118.7 m

答案

x = 118.7 m

7.功和能

答案: d = 41.95 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 80/3.6 = 22.22 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 22.22²/(2·0.6·9.81) = 41.95 m

答案

d = 41.95 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: v = 9.448 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(5 − 0.15·3) = 89.27 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.55) = 9.448 m/s

答案

v = 9.448 m/s

9.动量与碰撞

答案: ΔK = 12536 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1300·6/2800 = 2.786 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1300·6² = 23400 J

K_after = ½·2800·2.786² = 10864 J

损失的能量

ΔK = 23400 − 10864 = 12536 J

答案

ΔK = 12536 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 230 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.2·(13 + 10) = 4.6 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 4.6/0.02 = 230 N

答案

F_avg = 230 N

11.静水压力

答案: F = 235.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·6 = 235.4 kN

答案

F = 235.4 kN

12.静水压力

答案: F = 156.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.25·3.75 = 156.3 kN

答案

F = 156.3 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 96.69 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(100/75)² = 3.111 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 3.111²)/1000 = −3.308 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 100 + (−3.308) = 96.69 kPa

答案

p₂ = 96.69 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 118 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(100/50)² = 7 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 7²)/1000 = −22.97 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 190 + (−22.97) − 49.05 = 118 kPa

答案

p₂ = 118 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 154.1 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 80/4.003 = 19.99 mol

T = 5 + 273.15 = 278.1 K

体积

V = nRT/P = 19.99·8.314·278.1/300 = 154.1 L

答案

V = 154.1 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 34.38 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 293.1 K, T₂ = 403.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(250/200)·(403.1/293.1) = 34.38 L

答案

V₂ = 34.38 L

17.热机和制冷机

答案: η_max = 67.5 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 675 + 273.15 = 948.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308.1/948.1 = 67.5 %

答案

η_max = 67.5 %

18.热机和制冷机

答案: S_gen = 0.7634 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 Q_H/T_H，低温热源得到 Q_L/T_L。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

Q_L = Q_H − W = 1000 − 520 = 480 kJ

绝对温度

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

热源的熵变

ΔS_H = −1000/1073 = −0.9318 kJ/K

ΔS_L = 480/283.1 = 1.695 kJ/K

S_gen = 1.695 − 0.9318 = 0.7634 kJ/K

答案

S_gen = 0.7634 kJ/K

S_gen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: β = 70 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

总强度

I = 10·I₁

难度

β = 60 + 10·log₁₀(10) = 70 dB

答案

β = 70 dB

20.波、声与光学

答案: λ = 650 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = y·d/(mL) = 0.01625·0.0005/(5·2.5) = 6.5 × 10⁻⁷ m = 650 nm

答案

λ = 650 nm

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