大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 100 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.5 s，之后汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 100 km/ht_r = 1.5 sa = −6 m/s²

d = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 32 m/s² 的恒定向上加速度，持续 3 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。发射后多长时间它落到地面？求 t。

a = 32 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 4.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 2.6 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 4.5 m/sd = 2.6 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 70 N 的水平力拉前面 3 kg 的物块；4 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgF = 70 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 38 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 36 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 30 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 36 m/sθ = 55°h_roof = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 30 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。求制动距离 d。

v = 30 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

8.功和能困难

在 40° 斜坡底部有一根刚度为 2000 N/m 的弹簧，它顶着一个 1 kg 的物块被压缩 8 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.2。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 1 kgk = 2000 N/mx = 8 cmθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.25 kg 的小球以 18 m/s 撞到墙上，并以 18 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.25 kgv_in = 18 m/sv_out = 18 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水以 35 L/s 流过一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 75 mm。窄段的压强为 80 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 35 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 80 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 50 mm，同时升高 5 m。截面 1 处压强为 150 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 150 kPav₁ = 2 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 5 L 的容器中装有 20 g CH₄，温度为 60 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 20 gM = 16.04 g/molV = 5 LT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求O₂在 450 kPa 和 30 °C 下的密度 ρ。

M = 32 g/molP = 450 kPaT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机从 400 °C 的热源吸热，向 40 °C 的环境放热。其实际热效率为 32%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 400 °CT_L = 40 °Cη = 32%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

一台卡诺热机从 750 °C 的热源吸收 90 kW 热量，并向 30 °C 的环境放热。它的全部功用于驱动一台卡诺制冷机，该制冷机从 -20 °C 的冷冻室排出热量，也向 30 °C 的环境放热。求从冷冻室排出热量的速率 Q̇_L。

T_H = 750 °CT₀ = 30 °CT_L = -20 °CQ̇_H = 90 kW

Q̇_L = kW

19.波、声与光学中等

一个小扬声器向各个方向均匀辐射 0.2 W 的声功率。求 10 m 处的声强级 β。

P = 0.2 Wr = 10 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

20.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 30 m/s 的速度靠近的汽车发射 40 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 106 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 27.78·1.5 = 41.67 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·6) = 64.3 m

合计

d = 41.67 + 64.3 = 106 m

答案

d = 106 m

2.运动学

答案: t = 23.97 s

动力阶段

v₁ = 32·3 = 96 m/s

h₁ = ½·32·3² = 144 m

落回地面的自由飞行

解 −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²，取正根。

t₂ = (96 + √(96² + 2·9.81·144))/9.81 = 20.97 s

t = 3 + 20.97 = 23.97 s

答案

t = 23.97 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.397

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 4.5²/(2·2.6) = 3.894 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3.894/9.81 = 0.397

答案

μ = 0.397

4.牛顿定律

答案: T = 40 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (70 − 13.73)/7 = 8.038 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 4·(8.038 + 1.962) = 40 N

答案

T = 40 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: x = 138.3 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 35° = 31.13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 35° = 21.8 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·21.8/9.81 = 4.444 s

水平距离

x = v_x·t = 31.13·4.444 = 138.3 m

答案

x = 138.3 m

6.抛体运动

答案: x = 97.36 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 20.65 m/s, v_y = 29.49 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

30 = 29.49·t − 4.905·t²

t = (29.49 + √(29.49² − 2·9.81·30))/9.81 = 4.715 s

水平距离

x = v_x·t = 20.65·4.715 = 97.36 m

答案

x = 97.36 m

7.功和能

答案: d = 5.056 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 30/3.6 = 8.333 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 8.333²/(2·0.7·9.81) = 5.056 m

答案

d = 5.056 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: d = 0.8196 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·2000·0.08² = 6.4 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 6.4/(9.81·(0.6428 + 0.2·0.766)) = 0.8196 m

答案

d = 0.8196 m

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = 3.273 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 4)/(1.5 + 4)·6 = −2.727 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 4)·6 = 3.273 m/s

答案

v′₂ = 3.273 m/s

10.动量与碰撞

答案: J = 9 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.25·(18 + 18) = 9 N·s

答案

J = 9 N·s

11.静水压力

答案: F = 39.24 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·2 = 39.24 kN

答案

F = 39.24 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 2.048 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1.75·7.5 = 132 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·2.5³/12 = 3.906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.75 + 3.906/(1.75·7.5) = 2.048 m

答案

y_cp = 2.048 m

13.连续性和伯努利

答案: p₁ = 101.5 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.035/0.007854 = 4.456 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.035/0.004418 = 7.922 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 80 + ½·1000·(7.922² − 4.456²)/1000 = 80 + 21.45 = 101.5 kPa

答案

p₁ = 101.5 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 92.83 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(75/50)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 4.5²)/1000 = −8.125 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 150 + (−8.125) − 49.05 = 92.83 kPa

答案

p₂ = 92.83 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 690.7 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 20/16.04 = 1.247 mol

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

压强

P = nRT/V = 1.247·8.314·333.1/0.005 = 690.7 kPa

答案

P = 690.7 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 5.713 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 30 + 273.15 = 303.1 K

密度

ρ = 450·32/(8.314·303.1) = 5.713 kg/m³

答案

ρ = 5.713 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_II = 59.84 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 313.1/673.1 = 53.48 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 32/53.48 = 59.84 %

答案

η_II = 59.84 %

18.热机和制冷机

答案: Q̇_L = 320.7 kW

绝对温度

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T₀ = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

热机的功

η = 1 − 303.1/1023 = 0.7037

Ẇ = 0.7037·90 = 63.33 kW

制冷机排出的热量

COP_R = 253.1/(303.1 − 253.1) = 5.063

Q̇_L = 5.063·63.33 = 320.7 kW

答案

Q̇_L = 320.7 kW

19.波、声与光学

答案: β = 82.02 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

声强

I = P/(4πr²) = 0.0001592 W/m²

难度

β = 10·log₁₀(0.0001592/10⁻¹²) = 82.02 dB

答案

β = 82.02 dB

20.波、声与光学

答案: f″ = 47668 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 40000·(343 + 30)/343 = 43499 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 30) = 47668 Hz

答案

f″ = 47668 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers