大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 108 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.1 s，之后汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 108 km/ht_r = 1.1 sa = −6.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2 m/s² 加速 8 s，然后匀速行驶 12 s，最后以 2 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 8 st₂ = 12 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 3.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 4.2 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 3.5 m/sd = 4.2 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 110 N 的水平力拉前面 7 kg 的物块；3 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 3 kgm₂ = 7 kgF = 110 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 55° 的角度抛出，落在 40 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 55°R = 40 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶部以 13 m/s、与水平方向成 30° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 13 m/sθ = 30°h = 35 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一个 1 kg 的球挂在长 0.8 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 20°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 1 kgL = 0.8 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = N

8.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 4.5 mL = 3.5 mμ = 0.25k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 16 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 3.5 kgh = 16 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.动量与碰撞困难

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用长 1.6 m 的轻绳悬挂的 1.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 40°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 1.5 kgL = 1.6 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水以 40 L/s 流过一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 100 mm。窄段的压强为 190 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 40 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 190 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 50 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 290 kPa，流速为 3 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 290 kPav₁ = 3 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 50 L 的容器中装有 390 g He，温度为 50 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 390 gM = 4.003 g/molV = 50 LT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的He从 250 kPa、20 L、30 °C 变化到 650 kPa 和 60 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 250 kPaV₁ = 20 LT₁ = 30 °CP₂ = 650 kPaT₂ = 60 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机从 750 °C 的热源吸热，向 25 °C 的环境放热。其实际热效率为 28%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 750 °CT_L = 25 °Cη = 28%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 7 °C 时将房屋保持在 21 °C，向房屋提供 12 kW 热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 21 °CT_L = 7 °CQ̇_H = 12 kW

COP_max =

19.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 12 cm 的薄会聚透镜前 30 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 30 cmf = 12 cm

d_i = cm

20.波、声与光学困难

波长为 650 nm 的光照射到相距 0.4 mm 的两条缝上。屏距离缝 2.5 m。求从中央亮条纹到第 3 条亮条纹的距离 y₃。

λ = 650 nmd = 0.4 mmL = 2.5 mm = 3

y₃ = mm

3溶液

1.运动学

答案: d = 102.2 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 30·1.1 = 33 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·6.5) = 69.23 m

合计

d = 33 + 69.23 = 102.2 m

答案

d = 102.2 m

2.运动学

答案: s = 320 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·8 = 16 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·2·8² = 64 m

s₂ = 16·12 = 192 m

s₃ = 16²/(2·2) = 64 m

总距离

s = 64 + 192 + 64 = 320 m

答案

s = 320 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.1487

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 3.5²/(2·4.2) = 1.458 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.458/9.81 = 0.1487

答案

μ = 0.1487

4.牛顿定律

答案: T = 33 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (110 − 29.43)/10 = 8.057 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 3·(8.057 + 2.943) = 33 N

答案

T = 33 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: v₀ = 20.43 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·40/sin 110°) = 20.43 m/s

答案

v₀ = 20.43 m/s

6.抛体运动

答案: H = 37.15 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 13·sin 30° = 6.5 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 6.5²/(2·9.81) = 2.153 m

离地面的高度

H = 35 + 2.153 = 37.15 m

答案

H = 37.15 m

7.功和能

答案: T = 10.99 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.8·(1 − cos 20°) = 0.9466 m²/s²

最低点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·0.9466/0.8 = 10.99 N

答案

T = 10.99 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 10.99 N。

8.功和能

答案: v = 8.433 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(4.5 − 0.25·3.5) = 17.78 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.625) = 8.433 m/s

答案

v = 8.433 m/s

9.动量与碰撞

答案: v = 518.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.16) = 1.772 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 3.5)·1.772/0.012 = 518.5 m/s

答案

v = 518.5 m/s

10.动量与碰撞

答案: v = 815.7 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.6·(1 − cos 40°) = 0.3743 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.3743) = 2.71 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 1.505·2.71/0.005 = 815.7 m/s

答案

v = 815.7 m/s

11.静水压力

答案: F = 353.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·9 = 353.2 kN

答案

F = 353.2 kN

12.静水压力

答案: F = 91.72 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·4.25·2.5 = 91.72 kN

答案

F = 91.72 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₁ = 200.4 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.04/0.007854 = 5.093 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 190 + ½·1000·(5.093² − 2.264²)/1000 = 190 + 10.41 = 200.4 kPa

答案

p₁ = 200.4 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 193.1 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(100/50)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 290 + (−67.5) − 29.43 = 193.1 kPa

答案

p₂ = 193.1 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 5235 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 390/4.003 = 97.43 mol

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

压强

P = nRT/V = 97.43·8.314·323.1/0.05 = 5235 kPa

答案

P = 5235 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 8.454 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 303.1 K, T₂ = 333.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(250/650)·(333.1/303.1) = 8.454 L

答案

V₂ = 8.454 L

17.热机和制冷机

答案: η_II = 39.51 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 298.1/1023 = 70.86 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 28/70.86 = 39.51 %

答案

η_II = 39.51 %

18.热机和制冷机

答案: COP_max = 21.01

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 21 + 273.15 = 294.1 K

T_L = 7 + 273.15 = 280.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294.1/(294.1 − 280.1) = 21.01

答案

COP_max = 21.01

19.波、声与光学

答案: d_i = 20 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/30

d_i = 20 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 20 cm

20.波、声与光学

答案: y₃ = 12.19 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 650 × 10⁻⁹·2.5/(0.4 × 10⁻³) = 4.063 mm

第 3 条条纹

y₃ = 3·4.063 = 12.19 mm

答案

y₃ = 12.19 mm

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