大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 50 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.2 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.2 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 18 kg 的物块沿倾角为 35° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 18 kgθ = 35°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 8.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 18 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 33 m/sθ = 30°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。求它沿斜面滑行 17 m 后的速度 v。

θ = 45°μ = 0.3d = 17 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 1.5 mL = 4 mμ = 0.15k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 0.5 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 1.7 m 的轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 20°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 2.5 kgL = 1.7 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 0.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 200 mm，喉部直径 100 mm。入口处的压强比喉部高 10 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ − p₂ = 10 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 75 mm，同时升高 7 m。截面 1 处压强为 360 kPa，流速为 1.25 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 360 kPav₁ = 1.25 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 5 L 的容器中装有 400 g He，温度为 70 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 400 gM = 4.003 g/molV = 5 LT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求He在 350 kPa 和 20 °C 下的密度 ρ。

M = 4.003 g/molP = 350 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 225 °C 的热源吸收 4400 kJ 热量，放出 2943 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 225 °CQ_H = 4400 kJQ_L = 2943 kJ

T_L = °C

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 5 °C 时将房屋保持在 21 °C，向房屋提供 11 kW 热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 21 °CT_L = 5 °CQ̇_H = 11 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 20 cm 的薄会聚透镜前 10 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 10 cmf = 20 cm

m =

20.波、声与光学困难

波长为 532 nm 的光照射到相距 0.2 mm 的两条缝上。屏距离缝 3 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 532 nmd = 0.2 mmL = 3 m

Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 3.968 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13.89/3.5 = 3.968 s

答案

t = 3.968 s

2.运动学

答案: d = 77.47 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.2 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1441 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1441))/(2·4.905) = 3.974 s

深度

d = ½·9.81·3.974² = 77.47 m

答案

d = 77.47 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.627 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0) = 5.627 m/s²

答案

a = 5.627 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 34.5 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 0)/14.5 = 4.059 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8.5·4.059 + 0 = 34.5 N

答案

T = 34.5 N

5.抛体运动

答案: x = 21.23 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 20° = 16.91 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 20° = 6.156 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·6.156/9.81 = 1.255 s

水平距离

x = v_x·t = 16.91·1.255 = 21.23 m

答案

x = 21.23 m

6.抛体运动

答案: t = 5.429 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 30° = 28.58 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 30° = 16.5 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 16.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16.5 + √(272.2 + 1079))/9.81 = 5.429 s

答案

t = 5.429 s

7.功和能

答案: v = 12.85 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·17·(0.7071 − 0.3·0.7071)) = 12.85 m/s

答案

v = 12.85 m/s

8.功和能

答案: v = 4.202 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(1.5 − 0.15·4) = 4.415 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·0.9) = 4.202 m/s

答案

v = 4.202 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = 1.091 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (0.5 − 5)/(0.5 + 5)·6 = −4.909 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 5)·6 = 1.091 m/s

答案

v′₂ = 1.091 m/s

10.动量与碰撞

答案: v = 178.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.7·(1 − cos 20°) = 0.1025 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1025) = 1.418 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 2.52·1.418/0.02 = 178.7 m/s

答案

v = 178.7 m/s

11.静水压力

答案: F = 77.25 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·4.5 = 77.25 kN

答案

F = 77.25 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 1.083 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1·1.5 = 18.54 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1³/12 = 0.125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1 + 0.125/(1·1.5) = 1.083 m

答案

y_cp = 1.083 m

13.连续性和伯努利

答案: Q = 36.28 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(100/200)² = 0.25·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·10000/(1000·(1 − 0.0625))) = 4.619 m/s

v₁ = 1.155 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.007854·4.619 = 0.03628 m³/s = 36.28 L/s

答案

Q = 36.28 L/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 289.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(100/75)² = 2.222 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 2.222²)/1000 = −1.688 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·7/1000 = 68.67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 360 + (−1.688) − 68.67 = 289.6 kPa

答案

p₂ = 289.6 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 57016 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 400/4.003 = 99.93 mol

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

压强

P = nRT/V = 99.93·8.314·343.1/0.005 = 57016 kPa

答案

P = 57016 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 0.5748 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 20 + 273.15 = 293.1 K

密度

ρ = 350·4.003/(8.314·293.1) = 0.5748 kg/m³

答案

ρ = 0.5748 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: T_L = 60.04 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 225 + 273.15 = 498.1 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 498.1·2943/4400 = 333.2 K = 60.04 °C

答案

T_L = 60.04 °C

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.5983 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 21 + 273.15 = 294.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294.1/(294.1 − 278.1) = 18.38

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 11/18.38 = 0.5983 kW

答案

Ẇ_min = 0.5983 kW

19.波、声与光学

答案: m = 2

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/10

d_i = −20 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −(−20)/10 = 2

答案

m = 2

20.波、声与光学

答案: Δy = 7.98 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·3/(0.2 × 10⁻³) = 7.98 mm

答案

Δy = 7.98 mm

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