大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)t = ?25

一辆以 90 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 90 km/ha = −5 m/s²v = 0
t = s
2.运动学困难
AB: 23 m/s50 m

球 A 从 50 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 23 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 50 mv0B = 23 m/sg = 9.81 m/s²
y = m
3.牛顿定律中等
θ = 40°a = ?m = 8 kg

一个 8 kg 的物块沿倾角为 40° 的光滑斜面下滑。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 8 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 4 kg4.5 kgμ = 0.25

水平桌面上一个 4 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 4 kgm2 = 4.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 34 m/s50°射程H = ?

一个球 从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v0 = 34 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²
H = m
6.抛体运动困难
h = 20 mv0​ = 17 m/s40°α = ?

一个球从 20 m 高的悬崖顶部以 17 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 17 m/sθ = 40°h = 20 mg = 9.81 m/s²
α = °
7.功和能中等
30 km/h

一辆汽车在水平路面上以 30 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.4。求制动距离 d。

v = 30 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²
d = m
8.功和能困难
h = 3 mL = 3.5 mμ = 0.15k = 4000 N/m

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 3 mL = 3.5 mμ = 0.15k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
9.动量与碰撞中等
3 kgv = ?20 gh = 25 cm

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 25 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 3 kgh = 25 cmg = 9.81 m/s²
v = m/s
10.动量与碰撞困难
12 m/s10 m/s

一个 0.4 kg 的小球以 12 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.4 kgvin = 12 m/svout = 10 m/sΔt = 25 ms
J = N·s
11.静水压力中等
闸门d = 1 mH = 1.5 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 1.5 mH = 1.5 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.连续性和伯努利中等
v = ?p0​pp0​ − p = 300 Pa驻点

风洞中的皮托静压管测得总压与静压之差为 300 Pa。空气密度为 1.2 kg/m³。求风速 v。

p0 − p = 300 Paρ = 1.2 kg/m³
v = m/s
14.连续性和伯努利困难
12d1​ = 75 mm, p1​ = 120 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?Δz = 3 m

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 40 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 120 kPa，流速为 1.25 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 120 kPav1 = 1.25 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.理想气体定律中等
250 g ArV = 30 LT = 85 °CP = ?

容积为 30 L 的容器中装有 250 g Ar，温度为 85 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 250 gM = 39.95 g/molV = 30 LT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想气体定律困难
N₂, M = 28.01 g/molP = 450 kPaT = 20 °Cρ = ?

按理想气体处理，求N₂在 450 kPa 和 20 °C 下的密度 ρ。

M = 28.01 g/molP = 450 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
17.热机和制冷机中等
TH​ = 750 °CTL​ = 10 °CEQH​QL​η = 36%

一台热机从 750 °C 的热源吸热，向 10 °C 的环境放热。其实际热效率为 36%。求其第二定律效率 ηII，即实际效率与卡诺效率之比。

TH = 750 °CTL = 10 °Cη = 36%
ηII = %
18.热机和制冷机困难
TH​ = 300 °CTL​ = 15 °CEQH​ = 1400 kJQL​ = 840 kJW = 560 kJ

一台热机每个循环从 300 °C 的热源吸收 1400 kJ 热量，产生 560 kJ 的功，其余热量排向 15 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 Sgen。

TH = 300 °CTL = 15 °CQH = 1400 kJW = 560 kJ
Sgen = kJ/K
19.波、声与光学中等
FFdo​ = 8 cmf = 25 cm

一个物体位于焦距为 25 cm 的薄会聚透镜前 8 cm 处。求像距 di。使用符号规定 1/f = 1/do + 1/di（发散透镜 f < 0，虚像 di < 0）。

do = 8 cmf = 25 cm
di = cm
20.波、声与光学困难
SO10 m/sf = 35 kHz

静止的泊车传感器向以 10 m/s 的速度靠近的汽车发射 35 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 35 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s
f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 5 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 25/5 = 5 s

答案

t = 5 s
2.运动学

答案: y = 26.82 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

50 − ½g·t² = 23·t − ½g·t² → t = 50/23 = 2.174 s

相遇高度

y = 23·2.174 − ½·9.81·2.174² = 26.82 m

答案

y = 26.82 m
3.牛顿定律

答案: a = 6.306 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0) = 6.306 m/s²

答案

a = 6.306 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 25.97 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (44.15 − 9.81)/8.5 = 4.039 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 4·4.039 + 9.81 = 25.97 N

答案

T = 25.97 N
5.抛体运动

答案: H = 34.58 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 34·cos 50° = 21.85 m/s
vy = v0·sin θ = 34·sin 50° = 26.05 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：vy² = 2gH。

H = vy²/(2g) = 26.05²/(2·9.81) = 34.58 m

答案

H = 34.58 m
6.抛体运动

答案: α = 60.07 °

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

vx = 17·cos 40° = 13.02 m/s
vy0 = 17·sin 40° = 10.93 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

vy = √(10.93² + 2·9.81·20) = 22.62 m/s

落地角度

tan α = vy/vx = 22.62/13.02 → α = 60.07°

答案

α = 60.07°
7.功和能

答案: d = 8.849 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 30/3.6 = 8.333 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 8.333²/(2·0.4·9.81) = 8.849 m

答案

d = 8.849 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: x = 15.58 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(3 − 0.15·3.5) = 48.56 J

最大压缩量

½kx² = 48.56 → x = √(2·48.56/4000) = 0.1558 m = 15.58 cm

答案

x = 15.58 cm
9.动量与碰撞

答案: v = 334.4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.25) = 2.215 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 3)·2.215/0.02 = 334.4 m/s

答案

v = 334.4 m/s
10.动量与碰撞

答案: J = 8.8 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(10 + 12) = 8.8 N·s

答案

J = 8.8 N·s
11.静水压力

答案: F = 38.63 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
闸门d = 1 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.75·2.25 = 38.63 kN

答案

F = 38.63 kN
12.静水压力

答案: ycp = 2.333 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
闸门d = 1.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.25·4.5 = 99.33 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 3·1.5³/12 = 0.8438 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.25 + 0.8438/(2.25·4.5) = 2.333 m

答案

ycp = 2.333 m
13.连续性和伯努利

答案: v = 22.36 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p0 − p = ½ρv²
v = √(2·300/1.2) = 22.36 m/s

答案

v = 22.36 m/s
14.连续性和伯努利

答案: p2 = 81.7 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1.25·(75/40)² = 4.395 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.25² − 4.395²)/1000 = −8.875 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 120 + (−8.875) − 29.43 = 81.7 kPa

答案

p2 = 81.7 kPa
15.理想气体定律

答案: P = 621.1 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 250/39.95 = 6.258 mol
T = 85 + 273.15 = 358.1 K

压强

P = nRT/V = 6.258·8.314·358.1/0.03 = 621.1 kPa

答案

P = 621.1 kPa
16.理想气体定律

答案: ρ = 5.172 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 20 + 273.15 = 293.1 K

密度

ρ = 450·28.01/(8.314·293.1) = 5.172 kg/m³

答案

ρ = 5.172 kg/m³
17.热机和制冷机

答案: ηII = 49.77 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 750 + 273.15 = 1023 K
TL = 10 + 273.15 = 283.1 K

卡诺效率

ηCarnot = 1 − 283.1/1023 = 72.33 %

第二定律效率

ηII = η/ηCarnot = 36/72.33 = 49.77 %

答案

ηII = 49.77 %
18.热机和制冷机

答案: Sgen = 0.4725 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 QH/TH，低温热源得到 QL/TL。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

QL = QH − W = 1400 − 560 = 840 kJ

绝对温度

TH = 300 + 273.15 = 573.1 K
TL = 15 + 273.15 = 288.1 K

热源的熵变

ΔSH = −1400/573.1 = −2.443 kJ/K
ΔSL = 840/288.1 = 2.915 kJ/K
Sgen = 2.915 − 2.443 = 0.4725 kJ/K

答案

Sgen = 0.4725 kJ/K

Sgen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: di = −11.76 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/di = 1/f − 1/do = 1/25 − 1/8
di = −11.76 cm
FF8 cmf = 25 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

di = −11.76 cm
20.波、声与光学

答案: f″ = 37102 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 35000·(343 + 10)/343 = 36020 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 10) = 37102 Hz

答案

f″ = 37102 Hz

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