大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 120 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1 s，之后汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 120 km/ht_r = 1 sa = −8 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 10 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 10 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 9 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 9 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 8 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 8 m/sθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 38 m/s、与水平方向成 25° 的角度朝 45 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 38 m/sθ = 25°x = 45 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶部以 29 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 29 m/sθ = 20°h = 35 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。求它沿斜面滑行 8 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.2d = 8 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 0.5 kgh = 4 mL = 4.5 mμ = 0.3k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 3.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 10 m/s 撞到墙上，并以 11 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.15 kgv_in = 10 m/sv_out = 11 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水以 40 L/s 流过一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 75 mm。窄段的压强为 140 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 40 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 140 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 50 mm，同时升高 2 m。截面 1 处压强为 280 kPa，流速为 1.25 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 280 kPav₁ = 1.25 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 50 L 的容器中装有 20 g N₂，温度为 5 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 20 gM = 28.01 g/molV = 50 LT = 5 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的CO₂从 250 kPa、10 L、30 °C 变化到 600 kPa 和 190 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 250 kPaV₁ = 10 LT₁ = 30 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 190 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 425 °C 的高温热源和 25 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 425 °CT_L = 25 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 35 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -10 °C，以 3 kW 从冷藏室移走热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 35 °CT_L = -10 °CQ̇_L = 3 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

对于入射角大于 38° 的每一个角度，透明块内的光在与水（n = 1.33）的界面上都发生全反射。求该透明块的折射率 n₁。

θ_c = 38°n₂ = 1.33

n₁ =

20.波、声与光学困难

静止的传感器向以 20 m/s 的速度远离的汽车发射 30 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 f_b（声速为 343 m/s）。

f = 30 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 102.8 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 33.33·1 = 33.33 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·8) = 69.44 m

合计

d = 33.33 + 69.44 = 102.8 m

答案

d = 102.8 m

2.运动学

答案: t = 3.044 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 10·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 10·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (10 + √(10² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.044 s

答案

t = 3.044 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.055 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.1·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.0866) = 4.055 m/s²

答案

a = 4.055 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 4.293 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.3·cos 30°) = 7.454 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·7.454) = 4.293 m

答案

d = 4.293 m

5.抛体运动

答案: y = 12.61 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 38·cos 25° = 34.44 m/s

t = x/v_x = 45/34.44 = 1.307 s

此时的高度

y = 16.06·1.307 − ½·9.81·1.307² = 12.61 m

答案

y = 12.61 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: H = 40.01 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 29·sin 20° = 9.919 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 9.919²/(2·9.81) = 5.014 m

离地面的高度

H = 35 + 5.014 = 40.01 m

答案

H = 40.01 m

7.功和能

答案: v = 6.155 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·8·(0.4226 − 0.2·0.9063)) = 6.155 m/s

答案

v = 6.155 m/s

8.功和能

答案: x = 16.12 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(4 − 0.3·4.5) = 13 J

最大压缩量

½kx² = 13 → x = √(2·13/1000) = 0.1612 m = 16.12 cm

答案

x = 16.12 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = −1.333 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 3.5)/(2.5 + 3.5)·8 = −1.333 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 3.5)·8 = 6.667 m/s

答案

v′₁ = −1.333 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 63 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(11 + 10) = 3.15 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 3.15/0.05 = 63 N

答案

F_avg = 63 N

11.静水压力

答案: F = 55.18 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·2.5 = 55.18 kN

答案

F = 55.18 kN

12.静水压力

答案: F = 132.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·3 = 132.4 kN

答案

F = 132.4 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₁ = 178.4 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.04/0.004418 = 9.054 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 140 + ½·1000·(9.054² − 2.264²)/1000 = 140 + 38.43 = 178.4 kPa

答案

p₁ = 178.4 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 257.2 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(75/50)² = 2.813 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 2.813²)/1000 = −3.174 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 280 + (−3.174) − 19.62 = 257.2 kPa

答案

p₂ = 257.2 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 33.02 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 20/28.01 = 0.714 mol

T = 5 + 273.15 = 278.1 K

压强

P = nRT/V = 0.714·8.314·278.1/0.05 = 33.02 kPa

答案

P = 33.02 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 6.366 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 303.1 K, T₂ = 463.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(250/600)·(463.1/303.1) = 6.366 L

答案

V₂ = 6.366 L

17.热机和制冷机

答案: η_max = 57.29 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 425 + 273.15 = 698.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/698.1 = 57.29 %

答案

η_max = 57.29 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.513 kW

绝对温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 263.1/(308.1 − 263.1) = 5.848

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 3/5.848 = 0.513 kW

答案

Ẇ_min = 0.513 kW

19.波、声与光学

答案: n₁ = 2.16

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透明块的折射率

n₁ = n₂/sin θc = 1.33/0.6157 = 2.16

答案

n₁ = 2.16

20.波、声与光学

答案: f_b = 3306 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 30000·(343 − 20)/343 = 28251 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 + 20) = 26694 Hz

拍频

f_b = |f″ − f| = 3306 Hz

答案

f_b = 3306 Hz

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