大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 36 km/h 行驶的汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 36 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 7 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 7 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 10.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 28 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 10.5 m/sd = 28 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 10 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 10 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 10 kgm₂ = 10 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 20 m/s、与水平方向成 65° 的角度朝 25 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 20 m/sθ = 65°x = 25 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶部以 27 m/s、与水平方向成 30° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 27 m/sθ = 30°h = 45 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 1000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.15 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 6 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.15 kgk = 1000 N/mx = 6 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 0.5 kgh = 2.5 mL = 5 mμ = 0.15k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一辆以 11 m/s 行驶的 600 kg 汽车撞上一辆静止的 900 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 600 kgv₁ = 11 m/sm₂ = 900 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

10.动量与碰撞困难

一个 0.5 kg 的小球以 29 m/s 撞到墙上，并以 20 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.5 kgv_in = 29 m/sv_out = 20 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 380 kPa，流速为 3 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 380 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 50 mm，同时升高 8 m。截面 1 处压强为 370 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 370 kPav₁ = 2.5 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 30 L 的容器中装有 210 g O₂，温度为 45 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 210 gM = 32 g/molV = 30 LT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求CO₂在 1000 kPa 和 60 °C 下的密度 ρ。

M = 44.01 g/molP = 1000 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机从 700 °C 的热源吸热，向 40 °C 的环境放热。其实际热效率为 37%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 700 °CT_L = 40 °Cη = 37%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 5 °C 时将房屋保持在 20 °C，向房屋提供 8 kW 热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 20 °CT_L = 5 °CQ̇_H = 8 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

光在金刚石（n = 2.42）中向与火石玻璃（n = 1.62）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 2.42n₂ = 1.62

θ_c = °

20.波、声与光学困难

波长为 633 nm 的光照射到相距 0.1 mm 的两条缝上。屏距离缝 2 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 633 nmd = 0.1 mmL = 2 m

Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 2.5 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/4 = 2.5 s

答案

t = 2.5 s

2.运动学

答案: t = 3.657 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 7·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 7·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (7 + √(7² + 2·9.81·40))/9.81 = 3.657 s

答案

t = 3.657 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.2007

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 10.5²/(2·28) = 1.969 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.969/9.81 = 0.2007

答案

μ = 0.2007

4.牛顿定律

答案: a = 2.766 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 98.1 N

m₁·g·sin θ = 33.55 N

μ·m₁·g·cos θ = 9.218 N

系统的加速度

a = (98.1 − 33.55 − 9.218)/20 = 2.766 m/s²

答案

a = 2.766 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 10.7 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 20·cos 65° = 8.452 m/s

t = x/v_x = 25/8.452 = 2.958 s

此时的高度

y = 18.13·2.958 − ½·9.81·2.958² = 10.7 m

答案

y = 10.7 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: α = 54.38 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 27·cos 30° = 23.38 m/s

v_y0 = 27·sin 30° = 13.5 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(13.5² + 2·9.81·45) = 32.64 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 32.64/23.38 → α = 54.38°

答案

α = 54.38°

7.功和能

答案: h = 1.223 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 6 cm = 0.06 m

½kx² = ½·1000·0.06² = 1.8 J

高度

m·g = 0.15·9.81 = 1.472 N

h = ½kx²/(mg) = 1.8/1.472 = 1.223 m

答案

h = 1.223 m

8.功和能

答案: x = 8.287 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(2.5 − 0.15·5) = 8.584 J

最大压缩量

½kx² = 8.584 → x = √(2·8.584/2500) = 0.08287 m = 8.287 cm

答案

x = 8.287 cm

9.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 60 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·11/1500 = 4.4 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·600·11² = 36300 J

K_after = ½·1500·4.4² = 14520 J

损失的比例

ΔK/K = 21780/36300 = 60 %

答案

ΔK/K = 60 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 490 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.5·(20 + 29) = 24.5 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 24.5/0.05 = 490 N

答案

F_avg = 490 N

11.静水压力

答案: F = 309 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·9 = 309 kN

答案

F = 309 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 1.556 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1.5·1.5 = 22.62 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1³/12 = 0.125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 0.125/(1.5·1.5) = 1.556 m

答案

y_cp = 1.556 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 312.5 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(150/75)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67.5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 380 + (−67.5) = 312.5 kPa

答案

p₂ = 312.5 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 278.8 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(75/50)² = 5.625 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 5.625²)/1000 = −12.7 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 370 + (−12.7) − 78.48 = 278.8 kPa

答案

p₂ = 278.8 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 578.6 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 210/32 = 6.563 mol

T = 45 + 273.15 = 318.1 K

压强

P = nRT/V = 6.563·8.314·318.1/0.03 = 578.6 kPa

答案

P = 578.6 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 15.89 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

密度

ρ = 1000·44.01/(8.314·333.1) = 15.89 kg/m³

答案

ρ = 15.89 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_II = 54.56 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 313.1/973.1 = 67.82 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 37/67.82 = 54.56 %

答案

η_II = 54.56 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.4093 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 278.1) = 19.54

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 8/19.54 = 0.4093 kW

答案

Ẇ_min = 0.4093 kW

19.波、声与光学

答案: θ_c = 42.02 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.62/2.42 = 0.6694

临界角

θc = arcsin(0.6694) = 42.02°

答案

θ_c = 42.02°

20.波、声与光学

答案: Δy = 12.66 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 633 × 10⁻⁹·2/(0.1 × 10⁻³) = 12.66 mm

答案

Δy = 12.66 mm

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