大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 120 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 14 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的雪橇被一根与水平方向成 15° 向上的绳子以 80 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 15 kgF = 80 Nθ = 15°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 10.5 m/s 的速度开始沿 15° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 10.5 m/sθ = 15°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 36 m/s、与水平方向成 50° 的角度朝 26 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 36 m/sθ = 50°x = 26 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶部以 15 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 15 m/sθ = 60°h = 55 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.功和能中等

一个 4 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 12 m，动摩擦因数为 0.35。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 4 kgθ = 40°μ = 0.35d = 12 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 4 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.25）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 6 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 1.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 4 kgm₂ = 6 kgμ = 0.25d = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一辆以 22 m/s 行驶的 1100 kg 汽车撞上一辆静止的 1600 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1100 kgv₁ = 22 m/sm₂ = 1600 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 18 m/s 向东行驶的 1800 kg 汽车与一辆以 15 m/s 向北行驶的 800 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1800 kgv₁ = 18 m/s (E)m₂ = 800 kgv₂ = 15 m/s (N)

v′ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水从一个大型敞口水箱经直径 20 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 3.5 m，流量系数为 0.61。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 20 mmh = 3.5 mC_d = 0.61g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 75 mm，表压为 20 kPa。喷嘴出口直径为 40 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d₁ = 75 mmp₁ = 20 kPa (表压)d₂ = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.理想气体定律中等

360 g N₂在 350 kPa 和 20 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 360 gM = 28.01 g/molP = 350 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的N₂从 150 kPa、20 L、40 °C 变化到 750 kPa 和 250 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 150 kPaV₁ = 20 LT₁ = 40 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 250 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 400 °C 的高温热源和 40 °C 的低温热源之间工作。它吸收 4000 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 400 °CT_L = 40 °CQ_H = 4000 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 5 °C 时将房屋保持在 20 °C，向房屋提供 10 kW 热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 20 °CT_L = 5 °CQ̇_H = 10 kW

COP_max =

19.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 12 cm 的薄会聚透镜前 10 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 10 cmf = 12 cm

m =

20.波、声与光学困难

波长为 480 nm 的光照射到相距 0.15 mm 的两条缝上。屏距离缝 3 m。求从中央亮条纹到第 2 条亮条纹的距离 y₂。

λ = 480 nmd = 0.15 mmL = 3 mm = 2

y₂ = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 8.333 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33.33/4 = 8.333 s

答案

t = 8.333 s

2.运动学

答案: t = 4.62 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 14·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 14·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (14 + √(14² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.62 s

答案

t = 4.62 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.466 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 147.2 − 80·sin 15° = 126.4 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 77.27 − 25.29

a = 51.99/15 = 3.466 m/s²

答案

a = 3.466 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 12.43 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 15° + 0.2·cos 15°) = 4.434 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 10.5²/(2·4.434) = 12.43 m

答案

d = 12.43 m

5.抛体运动

答案: y = 24.79 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 36·cos 50° = 23.14 m/s

t = x/v_x = 26/23.14 = 1.124 s

此时的高度

y = 27.58·1.124 − ½·9.81·1.124² = 24.79 m

答案

y = 24.79 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: v = 36.11 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 15·cos 60° = 7.5 m/s

v_y0 = 15·sin 60° = 12.99 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(12.99² + 2·9.81·55) = 35.32 m/s

落水速度

v = √(7.5² + 35.32²) = 36.11 m/s

答案

v = 36.11 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.功和能

答案: W_f = 126.3 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 39.24·0.766 = 30.06 N

F = μN = 0.35·30.06 = 10.52 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 10.52·12 = 126.3 J

答案

W_f = 126.3 J

8.功和能

答案: v = 3.836 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 58.86·1.5 = 88.29 J

μ·m₁g·d = 0.25·39.24·1.5 = 14.71 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 73.57 → v = √(2·73.57/10) = 3.836 m/s

答案

v = 3.836 m/s

9.动量与碰撞

答案: ΔK = 157748 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1100·22/2700 = 8.963 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1100·22² = 266200 J

K_after = ½·2700·8.963² = 108452 J

损失的能量

ΔK = 266200 − 108452 = 157748 J

答案

ΔK = 157748 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: v′ = 13.29 m/s

动量分量

p_x = 1800·18 = 32400 kg·m/s

p_y = 800·15 = 12000 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 34551/2600 = 13.29 m/s

答案

v′ = 13.29 m/s

11.静水压力

答案: F = 42.92 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·2.5 = 42.92 kN

答案

F = 42.92 kN

12.静水压力

答案: F = 150.8 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·5·3 = 150.8 kN

答案

F = 150.8 kN

13.连续性和伯努利

答案: Q = 1.588 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.61·0.0003142·8.287 = 0.001588 m³/s = 1.588 L/s

答案

Q = 1.588 L/s

14.连续性和伯努利

答案: H = 2.218 m

出口流速

β = 40/75 = 0.5333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·20000/(1000·0.9191)) = 6.597 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v₂²/(2g) = 6.597²/(2·9.81) = 2.218 m

答案

H = 2.218 m

15.理想气体定律

答案: V = 89.5 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 360/28.01 = 12.85 mol

T = 20 + 273.15 = 293.1 K

体积

V = nRT/P = 12.85·8.314·293.1/350 = 89.5 L

答案

V = 89.5 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 6.682 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 313.1 K, T₂ = 523.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(150/750)·(523.1/313.1) = 6.682 L

答案

V₂ = 6.682 L

17.热机和制冷机

答案: W_max = 2139 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313.1/673.1 = 53.48 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.5348·4000 = 2139 kJ

答案

W_max = 2139 kJ

18.热机和制冷机

答案: COP_max = 19.54

绝对温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 278.1) = 19.54

答案

COP_max = 19.54

19.波、声与光学

答案: m = 6

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/10

d_i = −60 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −(−60)/10 = 6

答案

m = 6

20.波、声与光学

答案: y₂ = 19.2 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·3/(0.15 × 10⁻³) = 9.6 mm

第 2 条条纹

y₂ = 2·9.6 = 19.2 mm

答案

y₂ = 19.2 mm

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