大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)3.571 s25

一辆以 90 km/h 行驶的汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。

v₀ = 90 km/ha = −7 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
t (s)v (m/s)5 s

一辆有轨电车从静止开始以 2 m/s² 加速 5 s，然后匀速行驶 10 s，最后以 4.5 m/s² 制动直到停止。 求两站之间的总距离 s。

a1 = 2 m/s²t1 = 5 st2 = 10 sa3 = −4.5 m/s²
s = m
3.牛顿定律中等
θ = 40°a = ?m = 2 kg

一个 2 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 2 kgθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 4 kg4.5 kgμ = 0.1

水平桌面上一个 4 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 4 kgm2 = 4.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
34 my = ?v0​ = 22 m/s40°

一个球从水平地面以 22 m/s、与水平方向成 40° 的角度朝 34 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 22 m/sθ = 40°x = 34 mg = 9.81 m/s²
y = m
6.抛体运动困难
h = 5 mv0​ = 28 m/s25°H = ?

一个球从 5 m 高的悬崖顶部以 28 m/s、与水平方向成 25° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 28 m/sθ = 25°h = 5 mg = 9.81 m/s²
H = m
7.功和能中等
35°d = 20 mμ = 0.1

一个 5 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 20 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 Wf。

m = 5 kgθ = 35°μ = 0.1d = 20 mg = 9.81 m/s²
Wf = J
8.功和能困难
h = 4 mL = 5 mμ = 0.25k = 1000 N/m

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 4 mL = 5 mμ = 0.25k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
9.动量与碰撞中等
1.5 kg11 m/s5 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 11 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第一个滑块的速度 v′1（以其原运动方向为正）。

m1 = 1.5 kgm2 = 5 kgv1 = 11 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
10.动量与碰撞困难
1800 kgv1​ = ?1100 kg

一辆 1800 kg 的汽车撞上一辆停放的 1100 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 9 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v1。

m1 = 1800 kgm2 = 1100 kgd = 9 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²
v1 = m/s
11.静水压力中等
闸门d = 0.5 mH = 2 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 4 mH = 2.5 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
13.连续性和伯努利中等
d1​ = 250 mmd2​ = 125 mm12p1​ − p2​ = 49 kPaQ = ?

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 250 mm，喉部直径 125 mm。入口处的压强比喉部高 49 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d1 = 250 mmd2 = 125 mmp1 − p2 = 49 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
14.连续性和伯努利困难
12d1​ = 100 mm, p1​ = 360 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?Δz = 4 m

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 40 mm，同时升高 4 m。截面 1 处压强为 360 kPa，流速为 1.25 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 100 mmd2 = 40 mmp1 = 360 kPav1 = 1.25 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.理想气体定律中等
230 g O₂P = 100 kPaT = 30 °CV = ?

230 g O₂在 100 kPa 和 30 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 230 gM = 32 g/molP = 100 kPaT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
16.理想气体定律困难
CO₂, M = 44.01 g/molP = 850 kPaT = 180 °Cρ = ?

按理想气体处理，求CO₂在 850 kPa 和 180 °C 下的密度 ρ。

M = 44.01 g/molP = 850 kPaT = 180 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
17.热机和制冷机中等
TH​ = 400 °CTL​ = 20 °CEQH​QL​η = 37%

一台热机从 400 °C 的热源吸热，向 20 °C 的环境放热。其实际热效率为 37%。求其第二定律效率 ηII，即实际效率与卡诺效率之比。

TH = 400 °CTL = 20 °Cη = 37%
ηII = %
18.热机和制冷机困难
TH​ = 350 °CTL​ = 25 °CEQH​ = 1000 kJQL​ = 740 kJW = 260 kJ

一台热机每个循环从 350 °C 的热源吸收 1000 kJ 热量，产生 260 kJ 的功，其余热量排向 25 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 Sgen。

TH = 350 °CTL = 25 °CQH = 1000 kJW = 260 kJ
Sgen = kJ/K
19.波、声与光学中等
L = 1.2 mn = 3

一端封闭的管长 1.2 m。声速为 343 m/s。求其第 3 次谐波的频率 f3。

v = 343 m/sn = 3L = 1.2 m
f3 = Hz
20.波、声与光学困难
SO10 m/sf = 30 kHz

静止的泊车传感器向以 10 m/s 的速度靠近的汽车发射 30 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 30 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s
f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 44.64 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·7) = 44.64 m

答案

s = 44.64 m
2.运动学

答案: s = 136.1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a1·t1 = 2·5 = 10 m/s

各阶段的距离

s1 = ½·2·5² = 25 m
s2 = 10·10 = 100 m
s3 = 10²/(2·4.5) = 11.11 m

总距离

s = 25 + 100 + 11.11 = 136.1 m

答案

s = 136.1 m
3.牛顿定律

答案: a = 4.051 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.3·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.2298) = 4.051 m/s²

答案

a = 4.051 m/s²
4.牛顿定律

答案: a = 4.732 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (44.15 − 3.924)/8.5 = 4.732 m/s²

答案

a = 4.732 m/s²
5.抛体运动

答案: y = 8.566 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

vx = 22·cos 40° = 16.85 m/s
t = x/vx = 34/16.85 = 2.017 s

此时的高度

y = 14.14·2.017 − ½·9.81·2.017² = 8.566 m

答案

y = 8.566 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: H = 12.14 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

vy = 28·sin 25° = 11.83 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = vy²/(2g) = 11.83²/(2·9.81) = 7.137 m

离地面的高度

H = 5 + 7.137 = 12.14 m

答案

H = 12.14 m
7.功和能

答案: Wf = 80.36 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.8192 = 40.18 N
F = μN = 0.1·40.18 = 4.018 N

克服摩擦做的功

Wf = F·d = 4.018·20 = 80.36 J

答案

Wf = 80.36 J
8.功和能

答案: x = 46.46 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(4 − 0.25·5) = 107.9 J

最大压缩量

½kx² = 107.9 → x = √(2·107.9/1000) = 0.4646 m = 46.46 cm

答案

x = 46.46 cm
9.动量与碰撞

答案: v′1 = −5.923 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (1.5 − 5)/(1.5 + 5)·11 = −5.923 m/s
v′2 = 2·1.5/(1.5 + 5)·11 = 5.077 m/s

答案

v′1 = −5.923 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

10.动量与碰撞

答案: v1 = 16.58 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·9) = 10.29 m/s

碰撞中的动量

m1·v1 = (m1 + m2)·V → v1 = 2900·10.29/1800 = 16.58 m/s

答案

v1 = 16.58 m/s
(59.7 km/h)
11.静水压力

答案: F = 29.43 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
闸门d = 0.5 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.5·2 = 29.43 kN

答案

F = 29.43 kN
12.静水压力

答案: F = 324.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m
A = H·b = 2.5·2 = 5 m²
闸门d = 4 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·5.25·5 = 324.5 kN

答案

F = 324.5 kN
13.连续性和伯努利

答案: Q = 125.5 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v1 = v2·(125/250)² = 0.25·v2

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·49000/(1000·(1 − 0.0625))) = 10.22 m/s
v1 = 2.556 m/s

流量

Q = A2·v2 = 0.01227·10.22 = 0.1255 m³/s = 125.5 L/s

答案

Q = 125.5 L/s
14.连续性和伯努利

答案: p2 = 291 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1.25·(100/40)² = 7.813 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.25² − 7.813²)/1000 = −29.74 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 360 + (−29.74) − 39.24 = 291 kPa

答案

p2 = 291 kPa
15.理想气体定律

答案: V = 181.2 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 230/32 = 7.188 mol
T = 30 + 273.15 = 303.1 K

体积

V = nRT/P = 7.188·8.314·303.1/100 = 181.2 L

答案

V = 181.2 L
16.理想气体定律

答案: ρ = 9.929 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 180 + 273.15 = 453.1 K

密度

ρ = 850·44.01/(8.314·453.1) = 9.929 kg/m³

答案

ρ = 9.929 kg/m³
17.热机和制冷机

答案: ηII = 65.54 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 400 + 273.15 = 673.1 K
TL = 20 + 273.15 = 293.1 K

卡诺效率

ηCarnot = 1 − 293.1/673.1 = 56.45 %

第二定律效率

ηII = η/ηCarnot = 37/56.45 = 65.54 %

答案

ηII = 65.54 %
18.热机和制冷机

答案: Sgen = 0.8772 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 QH/TH，低温热源得到 QL/TL。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

QL = QH − W = 1000 − 260 = 740 kJ

绝对温度

TH = 350 + 273.15 = 623.1 K
TL = 25 + 273.15 = 298.1 K

热源的熵变

ΔSH = −1000/623.1 = −1.605 kJ/K
ΔSL = 740/298.1 = 2.482 kJ/K
Sgen = 2.482 − 1.605 = 0.8772 kJ/K

答案

Sgen = 0.8772 kJ/K

Sgen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: f3 = 214.4 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·1.2/3 = 1.6 m

频率

f = v/λ = 343/1.6 = 214.4 Hz

答案

f3 = 214.4 Hz
20.波、声与光学

答案: f″ = 31802 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 30000·(343 + 10)/343 = 30875 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 10) = 31802 Hz

答案

f″ = 31802 Hz

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