大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
a = ?s = 1200 m

一架飞机起飞需要 200 km/h 的速度，可用跑道长 1200 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 200 km/hs = 1200 m
a = m/s²
2.运动学困难
v₀ = 7 m/s40 m

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 7 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 7 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
θ = 20°a = ?m = 11 kg

一个 11 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 11 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 1 kg1.5 kgμ = 0.2

水平桌面上一个 1 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 1 kgm2 = 1.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 36 m/s65°射程

一个球 从平地上以高于水平面 65° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v0 = 36 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²
t = s
6.抛体运动困难
3 mv0​ = 19 m/s50°x = ?

一个球从地面以 19 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 3 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 19 m/sθ = 50°hroof = 3 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.功和能中等
36 km/h5°2000 kg

一辆 2000 kg 的汽车以恒定的 36 km/h 驶上 5° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 300 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 2000 kgθ = 5°Fr = 300 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²
P = kW
8.功和能困难
5 kg1 kgμ = 0.15d = 3 m

一个 5 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.15）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 1 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 3 m 后两物块的速度 v。

m1 = 5 kgm2 = 1 kgμ = 0.15d = 3 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
9.动量与碰撞中等
4.5 kgv = ?10 gh = 11 cm

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 11 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 4.5 kgh = 11 cmg = 9.81 m/s²
v = m/s
10.动量与碰撞困难
10 m/s6 m/s

一个 0.2 kg 的小球以 10 m/s 撞到墙上，并以 6 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.2 kgvin = 10 m/svout = 6 m/sΔt = 25 ms
J = N·s
11.静水压力中等
闸门d = 3 mH = 2.5 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 1.5 mH = 1.5 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 100 mm, p1​ = 240 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 40 mm。宽段压强为 240 kPa，流速为 2.25 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 100 mmd2 = 40 mmp1 = 240 kPav1 = 2.25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.连续性和伯努利困难
12d1​ = 150 mm, p1​ = 390 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 8 m

水在一根管道中向上流动，管径从 150 mm 缩小到 100 mm，同时升高 8 m。截面 1 处压强为 390 kPa，流速为 2.25 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 390 kPav1 = 2.25 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.理想气体定律中等
200 g CH₄V = 20 LT = 0 °CP = ?

容积为 20 L 的容器中装有 200 g CH₄，温度为 0 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 200 gM = 16.04 g/molV = 20 LT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想气体定律困难
状态 1状态 2

一定量的Ar从 350 kPa、5 L、35 °C 变化到 800 kPa 和 80 °C。求新的体积 V2。

P1 = 350 kPaV1 = 5 LT1 = 35 °CP2 = 800 kPaT2 = 80 °C
V2 = L
17.热机和制冷机中等
TH​ = 525 °CTL​ = ?EQH​ = 3500 kJQL​ = 1351 kJW

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 525 °C 的热源吸收 3500 kJ 热量，放出 1351 kJ。求冷源的温度 TL，以 °C 表示。

TH = 525 °CQH = 3500 kJQL = 1351 kJ
TL = °C
18.热机和制冷机困难
TH​ = 55 °CTL​ = -10 °CHPQ̇H​ = 5 kWQ̇L​Ẇ = ?

一台热泵从 -10 °C 的热源吸热，向 55 °C 的供暖系统提供 5 kW 的热量。其实际 COP 为这两个温度之间卡诺 COP 的 50%。求它消耗的电功率 Ẇ。

TH = 55 °CTL = -10 °CηII = 50%Q̇H = 5 kW
Ẇ = kW
19.波、声与光学中等
S30 m/sOf = 400 Hz

频率为 400 Hz 的声源以 30 m/s 的速度朝静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 400 Hzv = 343 m/svs = 30 m/s
f′ = Hz
20.波、声与光学困难
λ = ?d = 0.4 mmL = 1.2 m7.98 mm

用单色光照射相距 0.4 mm 的两条缝。在 1.2 m 外的屏上，第 5 条亮条纹距中央条纹 7.98 mm。求波长 λ。

d = 0.4 mmL = 1.2 my5 = 7.98 mmm = 5
λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.286 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 200/3.6 = 55.56 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 55.56²/(2·1200) = 1.286 m/s²

答案

a = 1.286 m/s²
2.运动学

答案: t = 3.657 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 7·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 7·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (7 + √(7² + 2·9.81·40))/9.81 = 3.657 s

答案

t = 3.657 s
3.牛顿定律

答案: a = 1.512 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答案

a = 1.512 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 7.063 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (14.71 − 1.962)/2.5 = 5.101 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 1·5.101 + 1.962 = 7.063 N

答案

T = 7.063 N
5.抛体运动

答案: t = 6.652 s

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 36·cos 65° = 15.21 m/s
vy = v0·sin θ = 36·sin 65° = 32.63 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2vy/g。

t = 2·32.63/9.81 = 6.652 s

答案

t = 6.652 s
6.抛体运动

答案: x = 33.52 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

vx = 12.21 m/s, vy = 14.55 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

3 = 14.55·t − 4.905·t²
t = (14.55 + √(14.55² − 2·9.81·3))/9.81 = 2.744 s

水平距离

x = vx·t = 12.21·2.744 = 33.52 m

答案

x = 33.52 m
7.功和能

答案: P = 20.1 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 2000·9.81 = 19620 N
mg·sin θ = 19620·sin 5° = 1710 N
F = 1710 + 300 = 2010 N

功率

v = 36/3.6 = 10 m/s
P = F·v = 2010·10 = 20100 W = 20.1 kW

答案

P = 20.1 kW
8.功和能

答案: v = 1.566 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 9.81·3 = 29.43 J
μ·m₁g·d = 0.15·49.05·3 = 22.07 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 7.358 → v = √(2·7.358/6) = 1.566 m/s

答案

v = 1.566 m/s
9.动量与碰撞

答案: v = 662.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.11) = 1.469 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 4.5)·1.469/0.01 = 662.6 m/s

答案

v = 662.6 m/s
10.动量与碰撞

答案: J = 3.2 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.2·(6 + 10) = 3.2 N·s

答案

J = 3.2 N·s
11.静水压力

答案: F = 104.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
闸门d = 3 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.25·2.5 = 104.2 kN

答案

F = 104.2 kN
12.静水压力

答案: F = 49.66 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
闸门d = 1.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.25·2.25 = 49.66 kN

答案

F = 49.66 kN
13.连续性和伯努利

答案: p2 = 143.7 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.25·(100/40)² = 14.06 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.25² − 14.06²)/1000 = −96.35 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 240 + (−96.35) = 143.7 kPa

答案

p2 = 143.7 kPa
14.连续性和伯努利

答案: p2 = 301.2 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.25·(150/100)² = 5.063 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.25² − 5.063²)/1000 = −10.28 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 390 + (−10.28) − 78.48 = 301.2 kPa

答案

p2 = 301.2 kPa
15.理想气体定律

答案: P = 1416 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 200/16.04 = 12.47 mol
T = 0 + 273.15 = 273.1 K

压强

P = nRT/V = 12.47·8.314·273.1/0.02 = 1416 kPa

答案

P = 1416 kPa
16.理想气体定律

答案: V2 = 2.507 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P1V1/T1 = P2V2/T2。

绝对温度

T1 = 308.1 K, T2 = 353.1 K

联合气体定律

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 5·(350/800)·(353.1/308.1) = 2.507 L

答案

V2 = 2.507 L
17.热机和制冷机

答案: TL = 34.94 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

热源的热力学温度

TH = 525 + 273.15 = 798.1 K

可逆循环的热量比

TL = TH·QL/QH = 798.1·1351/3500 = 308.1 K = 34.94 °C

答案

TL = 34.94 °C
18.热机和制冷机

答案: Ẇ = 1.981 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

绝对温度

TH = 55 + 273.15 = 328.1 K
TL = -10 + 273.15 = 263.1 K

卡诺 COP 和实际 COP

COPmax = 328.1/(328.1 − 263.1) = 5.048
COP = 0.5·5.048 = 2.524

输入功率

Ẇ = Q̇H/COP = 5/2.524 = 1.981 kW

答案

Ẇ = 1.981 kW
19.波、声与光学

答案: f′ = 438.3 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 400·(343 + 0)/(343 − 30)
f′ = 438.3 Hz

答案

f′ = 438.3 Hz
20.波、声与光学

答案: λ = 532 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = y·d/(mL) = 0.00798·0.0004/(5·1.2) = 5.32 × 10⁻⁷ m = 532 nm

答案

λ = 532 nm

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