大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 54 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.5 s，之后汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 54 km/ht_r = 0.5 sa = −5.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 15 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 15 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 8.5 kg 和 4 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 4 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 8.5 m/s 的速度开始沿 35° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 8.5 m/sθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 12 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 32 m/sθ = 20°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一个 1 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 10 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 1 kgθ = 25°μ = 0.1d = 10 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

在 30° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 3 kg 的物块被压缩 15 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.1。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 3 kgk = 3000 N/mx = 15 cmθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

9.动量与碰撞中等

一辆以 24 m/s 行驶的 1300 kg 汽车撞上一辆静止的 2000 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1300 kgv₁ = 24 m/sm₂ = 2000 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.动量与碰撞困难

一辆 1600 kg 的汽车撞上一辆停放的 1500 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1600 kgm₂ = 1500 kgd = 5 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 320 kPa，流速为 3 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 320 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 200 mm 缩小到 100 mm，同时升高 4 m。截面 1 处压强为 330 kPa，流速为 3 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 330 kPav₁ = 3 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

280 g He在 150 kPa 和 0 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 280 gM = 4.003 g/molP = 150 kPaT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求N₂在 800 kPa 和 70 °C 下的密度 ρ。

M = 28.01 g/molP = 800 kPaT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 750 °C 的热源吸收 1900 kJ 热量，放出 554 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 750 °CQ_H = 1900 kJQ_L = 554 kJ

T_L = °C

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 28 °C 的厨房中将冷藏室保持在 5 °C，以 4 kW 从冷藏室移走热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 28 °CT_L = 5 °CQ̇_L = 4 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

频率为 1200 Hz 的声源以 30 m/s 的速度朝静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 1200 Hzv = 343 m/sv_s = 30 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 30 cm：透镜 1 的 f₁ = 15 cm，透镜 2 的 f₂ = −20 cm。一个物体位于透镜 1 前 18 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 15 cmf₂ = −20 cms = 30 cmd_o = 18 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: d = 27.95 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 15·0.5 = 7.5 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·5.5) = 20.45 m

合计

d = 7.5 + 20.45 = 27.95 m

答案

d = 27.95 m

2.运动学

答案: t = 4.768 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 15·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 15·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (15 + √(15² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.768 s

答案

t = 4.768 s

3.牛顿定律

答案: T = 53.37 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (8.5 − 4)·9.81/(8.5 + 4) = 3.532 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 4·(9.81 + 3.532) = 53.37 N

答案

T = 53.37 N

4.牛顿定律

答案: d = 4.731 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 35° + 0.25·cos 35°) = 7.636 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 8.5²/(2·7.636) = 4.731 m

答案

d = 4.731 m

5.抛体运动

答案: x = 13.79 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 35° = 9.83 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 35° = 6.883 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·6.883/9.81 = 1.403 s

水平距离

x = v_x·t = 9.83·1.403 = 13.79 m

答案

x = 13.79 m

6.抛体运动

答案: t = 3.634 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 20° = 30.07 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 20° = 10.94 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 10.94·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.94 + √(119.8 + 490.5))/9.81 = 3.634 s

答案

t = 3.634 s

7.功和能

答案: W_f = 8.891 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.9063 = 8.891 N

F = μN = 0.1·8.891 = 0.8891 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 0.8891·10 = 8.891 J

答案

W_f = 8.891 J

8.功和能

答案: d = 1.955 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·3000·0.15² = 33.75 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 33.75/(29.43·(0.5 + 0.1·0.866)) = 1.955 m

答案

d = 1.955 m

9.动量与碰撞

答案: ΔK = 226909 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1300·24/3300 = 9.455 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1300·24² = 374400 J

K_after = ½·3300·9.455² = 147491 J

损失的能量

ΔK = 374400 − 147491 = 226909 J

答案

ΔK = 226909 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: v₁ = 14.86 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·5) = 7.672 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3100·7.672/1600 = 14.86 m/s

答案

v₁ = 14.86 m/s

(53.51 km/h)

11.静水压力

答案: F = 103 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN

答案

F = 103 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 3.308 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3.25·2.25 = 63.13 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.25 + 0.4219/(3.25·2.25) = 3.308 m

答案

y_cp = 3.308 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 301.7 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(75/50)² = 6.75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 6.75²)/1000 = −18.28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 320 + (−18.28) = 301.7 kPa

答案

p₂ = 301.7 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 223.3 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(200/100)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 330 + (−67.5) − 39.24 = 223.3 kPa

答案

p₂ = 223.3 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 1059 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 280/4.003 = 69.95 mol

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

体积

V = nRT/P = 69.95·8.314·273.1/150 = 1059 L

答案

V = 1059 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 7.854 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

密度

ρ = 800·28.01/(8.314·343.1) = 7.854 kg/m³

答案

ρ = 7.854 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: T_L = 25.18 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 1023·554/1900 = 298.3 K = 25.18 °C

答案

T_L = 25.18 °C

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.3308 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 278.1/(301.1 − 278.1) = 12.09

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 4/12.09 = 0.3308 kW

答案

Ẇ_min = 0.3308 kW

19.波、声与光学

答案: f′ = 1315 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1200·(343 + 0)/(343 − 30)

f′ = 1315 Hz

答案

f′ = 1315 Hz

20.波、声与光学

答案: d_i2 = −30 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/15 − 1/18 → d_i1 = 90 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 30 − 90 = −60 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/(−60) → d_i2 = −30 cm

答案

d_i2 = −30 cm

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