大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 108 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 14 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 19 kg 的物块沿倾角为 45° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 19 kgθ = 45°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6 kgm₂ = 5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 36 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 33 m/sθ = 55°h = 55 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.4。求它沿斜面滑行 2 m 后的速度 v。

θ = 45°μ = 0.4d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.功和能困难

在 30° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 1 kg 的物块被压缩 15 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.3。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 1 kgk = 3000 N/mx = 15 cmθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

9.动量与碰撞中等

一辆以 17 m/s 行驶的 1600 kg 汽车撞上一辆静止的 700 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1600 kgv₁ = 17 m/sm₂ = 700 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 14 m/s 撞到墙上，并以 8 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.55 kgv_in = 14 m/sv_out = 8 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 300 kPa，流速为 1.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 300 kPav₁ = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 50 mm，同时升高 4 m。截面 1 处压强为 360 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 360 kPav₁ = 2 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 5 L 的容器中装有 410 g O₂，温度为 60 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 410 gM = 32 g/molV = 5 LT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的O₂从 250 kPa、20 L、35 °C 变化到 250 kPa 和 150 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 250 kPaV₁ = 20 LT₁ = 35 °CP₂ = 250 kPaT₂ = 150 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台可逆制冷机通过排出 6.5 kW 的热量使冷库保持在 -10 °C，并向 25 °C 的环境放热。求它放热的速率 Q̇_H。

T_L = -10 °CT_H = 25 °CQ̇_L = 6.5 kW

Q̇_H = kW

18.热机和制冷机困难

一台热机每个循环从 500 °C 的热源吸收 1200 kJ 热量，产生 372 kJ 的功，其余热量排向 15 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 S_gen。

T_H = 500 °CT_L = 15 °CQ_H = 1200 kJW = 372 kJ

S_gen = kJ/K

19.波、声与光学中等

光在乙醇（n = 1.36）中向与水（n = 1.33）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 1.36n₂ = 1.33

θ_c = °

20.波、声与光学困难

静止的传感器向以 15 m/s 的速度靠近的汽车发射 30 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 f_b（声速为 343 m/s）。

f = 30 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 150 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·3) = 150 m

答案

s = 150 m

2.运动学

答案: t = 3.175 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−5 = 14·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 14·t − 5 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (14 + √(14² + 2·9.81·5))/9.81 = 3.175 s

答案

t = 3.175 s

3.牛顿定律

答案: a = 6.937 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0) = 6.937 m/s²

答案

a = 6.937 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 4.459 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 0)/11 = 4.459 m/s²

答案

a = 4.459 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 4.718 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 40° = 27.58 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 40° = 23.14 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·23.14/9.81 = 4.718 s

答案

t = 4.718 s

6.抛体运动

答案: x = 134.2 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 55° = 18.93 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 55° = 27.03 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 27.03·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (27.03 + √(730.7 + 1079))/9.81 = 7.092 s

水平距离

x = v_x·t = 18.93·7.092 = 134.2 m

答案

x = 134.2 m

7.功和能

答案: v = 4.08 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·2·(0.7071 − 0.4·0.7071)) = 4.08 m/s

答案

v = 4.08 m/s

8.功和能

答案: d = 4.528 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·3000·0.15² = 33.75 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 33.75/(9.81·(0.5 + 0.3·0.866)) = 4.528 m

答案

d = 4.528 m

9.动量与碰撞

答案: ΔK = 70365 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·17/2300 = 11.83 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1600·17² = 231200 J

K_after = ½·2300·11.83² = 160835 J

损失的能量

ΔK = 231200 − 160835 = 70365 J

答案

ΔK = 70365 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: J = 12.1 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(8 + 14) = 12.1 N·s

答案

J = 12.1 N·s

11.静水压力

答案: F = 29.43 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1·3 = 29.43 kN

答案

F = 29.43 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 4.519 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4.5·2 = 111.2 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0.1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.5 + 0.1667/(4.5·2) = 4.519 m

答案

y_cp = 4.519 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 283.1 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(150/75)² = 6 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 6²)/1000 = −16.88 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 300 + (−16.88) = 283.1 kPa

答案

p₂ = 283.1 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 312.6 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(75/50)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 4.5²)/1000 = −8.125 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 360 + (−8.125) − 39.24 = 312.6 kPa

答案

p₂ = 312.6 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 7098 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 410/32 = 12.81 mol

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

压强

P = nRT/V = 12.81·8.314·333.1/0.005 = 7098 kPa

答案

P = 7098 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 27.46 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 308.1 K, T₂ = 423.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(250/250)·(423.1/308.1) = 27.46 L

答案

V₂ = 27.46 L

17.热机和制冷机

答案: Q̇_H = 7.365 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可逆循环的热量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 6.5·298.1/263.1 = 7.365 kW

答案

Q̇_H = 7.365 kW

输入功率：Ẇ = 0.8645 kW。

18.热机和制冷机

答案: S_gen = 1.321 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 Q_H/T_H，低温热源得到 Q_L/T_L。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

Q_L = Q_H − W = 1200 − 372 = 828 kJ

绝对温度

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

热源的熵变

ΔS_H = −1200/773.1 = −1.552 kJ/K

ΔS_L = 828/288.1 = 2.874 kJ/K

S_gen = 2.874 − 1.552 = 1.321 kJ/K

答案

S_gen = 1.321 kJ/K

S_gen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: θ_c = 77.94 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.33/1.36 = 0.9779

临界角

θc = arcsin(0.9779) = 77.94°

答案

θ_c = 77.94°

20.波、声与光学

答案: f_b = 2744 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 30000·(343 + 15)/343 = 31312 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 15) = 32744 Hz

拍频

f_b = |f″ − f| = 2744 Hz

答案

f_b = 2744 Hz

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