大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 17 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 3.5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 17 m/sa_police = 3.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 1.7 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 1.7 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 35 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 25° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 35 kgθ = 25°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 115 N 的水平力拉前面 11 kg 的物块；2 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 2 kgm₂ = 11 kgF = 115 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 22 m/s、与水平方向成 25° 的角度朝 8 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 22 m/sθ = 25°x = 8 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶部以 20 m/s、与水平方向成 30° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 20 m/sθ = 30°h = 25 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。求它沿斜面滑行 10 m 后的速度 v。

θ = 45°μ = 0.3d = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2.5 kgh = 4.5 mL = 2 mμ = 0.1k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 3.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 4 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用长 0.8 m 的轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 40°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 4 kgL = 0.8 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 1 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 200 mm，喉部直径 150 mm。入口处的压强比喉部高 23 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 23 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 150 mm 缩小到 75 mm，同时升高 6 m。截面 1 处压强为 390 kPa，流速为 3 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 390 kPav₁ = 3 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

400 g O₂在 250 kPa 和 45 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 400 gM = 32 g/molP = 250 kPaT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求Ar在 1000 kPa 和 170 °C 下的密度 ρ。

M = 39.95 g/molP = 1000 kPaT = 170 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 225 °C 的高温热源和 30 °C 的低温热源之间工作。它吸收 3600 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 225 °CT_L = 30 °CQ_H = 3600 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台热泵从 0 °C 的热源吸热，向 22 °C 的供暖系统提供 10.5 kW 的热量。其实际 COP 为这两个温度之间卡诺 COP 的 55%。求它消耗的电功率 Ẇ。

T_H = 22 °CT_L = 0 °Cη_II = 55%Q̇_H = 10.5 kW

Ẇ = kW

19.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 10 cm 的薄会聚透镜前 20 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 20 cmf = 10 cm

d_i = cm

20.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 60 cm：透镜 1 的 f₁ = 12 cm，透镜 2 的 f₂ = 5 cm。一个物体位于透镜 1 前 18 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 12 cmf₂ = 5 cms = 60 cmd_o = 18 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: d = 165.1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·17/3.5 = 9.714 s

距离

d = v·t = 17·9.714 = 165.1 m

答案

d = 165.1 m

此时警车的速度为 2v = 34 m/s。

2.运动学

答案: d = 13.53 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(1.7 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 583.1 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·583.1))/(2·4.905) = 1.661 s

深度

d = ½·9.81·1.661² = 13.53 m

答案

d = 13.53 m

3.牛顿定律

答案: F = 269.6 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 145.1 + 124.5 = 269.6 N

答案

F = 269.6 N

4.牛顿定律

答案: T = 17.69 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (115 − 31.88)/13 = 6.394 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 2·(6.394 + 2.453) = 17.69 N

答案

T = 17.69 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: y = 2.941 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 22·cos 25° = 19.94 m/s

t = x/v_x = 8/19.94 = 0.4012 s

此时的高度

y = 9.298·0.4012 − ½·9.81·0.4012² = 2.941 m

答案

y = 2.941 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: α = 54.52 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 20·cos 30° = 17.32 m/s

v_y0 = 20·sin 30° = 10 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(10² + 2·9.81·25) = 24.3 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 24.3/17.32 → α = 54.52°

答案

α = 54.52°

7.功和能

答案: v = 9.855 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·10·(0.7071 − 0.3·0.7071)) = 9.855 m/s

答案

v = 9.855 m/s

8.功和能

答案: v = 9.185 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(4.5 − 0.1·2) = 105.5 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.3) = 9.185 m/s

答案

v = 9.185 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = 0.8 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 3.5)/(4 + 3.5)·12 = 0.8 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 3.5)·12 = 12.8 m/s

答案

v′₁ = 0.8 m/s

10.动量与碰撞

答案: v = 640.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.8·(1 − cos 40°) = 0.1872 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1872) = 1.916 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.012·1.916/0.012 = 640.7 m/s

答案

v = 640.7 m/s

11.静水压力

答案: F = 206 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·6 = 206 kN

答案

F = 206 kN

12.静水压力

答案: F = 75.41 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.5·3 = 75.41 kN

答案

F = 75.41 kN

13.连续性和伯努利

答案: Q = 145 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(150/200)² = 0.5625·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·23000/(1000·(1 − 0.3164))) = 8.203 m/s

v₁ = 4.614 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.01767·8.203 = 0.145 m³/s = 145 L/s

答案

Q = 145 L/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 263.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(150/75)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 390 + (−67.5) − 58.86 = 263.6 kPa

答案

p₂ = 263.6 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 132.3 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 400/32 = 12.5 mol

T = 45 + 273.15 = 318.1 K

体积

V = nRT/P = 12.5·8.314·318.1/250 = 132.3 L

答案

V = 132.3 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 10.84 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 170 + 273.15 = 443.1 K

密度

ρ = 1000·39.95/(8.314·443.1) = 10.84 kg/m³

答案

ρ = 10.84 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: W_max = 1409 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 225 + 273.15 = 498.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/498.1 = 39.14 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.3914·3600 = 1409 kJ

答案

W_max = 1409 kJ

18.热机和制冷机

答案: Ẇ = 1.423 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

卡诺 COP 和实际 COP

COP_max = 295.1/(295.1 − 273.1) = 13.42

COP = 0.55·13.42 = 7.379

输入功率

Ẇ = Q̇_H/COP = 10.5/7.379 = 1.423 kW

答案

Ẇ = 1.423 kW

19.波、声与光学

答案: d_i = 20 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/20

d_i = 20 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 20 cm

20.波、声与光学

答案: d_i2 = 6.316 cm

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/12 − 1/18 → d_i1 = 36 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 60 − 36 = 24 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/5 − 1/24 → d_i2 = 6.316 cm

答案

d_i2 = 6.316 cm

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