大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 60 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.4 s，之后汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 60 km/ht_r = 1.4 sa = −8 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 20 m 高的屋顶边缘以 17 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 17 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 2 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 2 kgθ = 45°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 4 kgm₂ = 6 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 34 m/s 抛出，必须落在 85 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 34 m/sR = 85 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶部以 21 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 21 m/sθ = 45°h = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.35。求它沿斜面滑行 19 m 后的速度 v。

θ = 40°μ = 0.35d = 19 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.功和能困难

一个 2 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.25）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 5 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 3 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgμ = 0.25d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一个以 30 m/s 水平运动的 14 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。13 kg 的碎片以 78 m/s 继续向前运动。求 1 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 14 kgu = 30 m/sm₁ = 13 kgv′₁ = 78 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 9 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.1 kgv_in = 9 m/sv_out = 15 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 240 kPa，流速为 2.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 240 kPav₁ = 2.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个水平文丘里流量计（入口 150 mm，喉部 75 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 50 mm。流量系数为 0.98。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmΔh = 50 mmC_d = 0.98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

容积为 30 L 的容器中装有 360 g Ar，温度为 90 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 360 gM = 39.95 g/molV = 30 LT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的He从 200 kPa、2 L、15 °C 变化到 500 kPa 和 200 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 200 kPaV₁ = 2 LT₁ = 15 °CP₂ = 500 kPaT₂ = 200 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机从 550 °C 的热源吸热，向 15 °C 的环境放热。其实际热效率为 26%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 550 °CT_L = 15 °Cη = 26%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 35 °C 的厨房中将冷藏室保持在 5 °C，以 2.5 kW 从冷藏室移走热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 35 °CT_L = 5 °CQ̇_L = 2.5 kW

COP_max =

19.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 30 cm 的薄会聚透镜前 25 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 25 cmf = 30 cm

m =

20.波、声与光学困难

静止的传感器向以 30 m/s 的速度远离的汽车发射 25 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 f_b（声速为 343 m/s）。

f = 25 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 40.69 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 16.67·1.4 = 23.33 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·8) = 17.36 m

合计

d = 23.33 + 17.36 = 40.69 m

答案

d = 40.69 m

2.运动学

答案: t = 4.394 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−20 = 17·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 17·t − 20 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (17 + √(17² + 2·9.81·20))/9.81 = 4.394 s

答案

t = 4.394 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.856 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.3·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.2121) = 4.856 m/s²

答案

a = 4.856 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 4.905 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 9.81)/10 = 4.905 m/s²

答案

a = 4.905 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 23.08 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·85/34² = 0.7213

相角

2θ = 46.16° → θ = 23.08°

答案

θ = 23.08°

另一个解为 90° − θ = 66.92°。

6.抛体运动

答案: v = 23.22 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 21·cos 45° = 14.85 m/s

v_y0 = 21·sin 45° = 14.85 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(14.85² + 2·9.81·5) = 17.85 m/s

落水速度

v = √(14.85² + 17.85²) = 23.22 m/s

答案

v = 23.22 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.功和能

答案: v = 11.82 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·19·(0.6428 − 0.35·0.766)) = 11.82 m/s

答案

v = 11.82 m/s

8.功和能

答案: v = 6.151 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 49.05·3 = 147.2 J

μ·m₁g·d = 0.25·19.62·3 = 14.71 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 132.4 → v = √(2·132.4/7) = 6.151 m/s

答案

v = 6.151 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = −594 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 14·30 = 420 kg·m/s

碰撞后的动量

420 = 13·78 + 1·v′₂

v′₂ = (420 − 1014)/1 = −594 m/s

答案

v′₂ = −594 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

10.动量与碰撞

答案: J = 2.4 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(15 + 9) = 2.4 N·s

答案

J = 2.4 N·s

11.静水压力

答案: F = 275.9 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·7.5 = 275.9 kN

答案

F = 275.9 kN

12.静水压力

答案: F = 111.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3·3 = 111.2 kN

答案

F = 111.2 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 224.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.75·(75/50)² = 6.188 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.75² − 6.188²)/1000 = −15.36 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 240 + (−15.36) = 224.6 kPa

答案

p₂ = 224.6 kPa

14.连续性和伯努利

答案: Q = 15.72 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.05 = 6180 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 75/150 = 0.5

v₂ = √(2·6180/(1000·(1 − 0.0625))) = 3.631 m/s

实际流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.98·0.004418·3.631 = 0.01572 m³/s = 15.72 L/s

答案

Q = 15.72 L/s

15.理想气体定律

答案: P = 906.9 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 360/39.95 = 9.011 mol

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

压强

P = nRT/V = 9.011·8.314·363.1/0.03 = 906.9 kPa

答案

P = 906.9 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 1.314 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 288.1 K, T₂ = 473.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(200/500)·(473.1/288.1) = 1.314 L

答案

V₂ = 1.314 L

17.热机和制冷机

答案: η_II = 40 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 550 + 273.15 = 823.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 288.1/823.1 = 64.99 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 26/64.99 = 40 %

答案

η_II = 40 %

18.热机和制冷机

答案: COP_max = 9.272

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 278.1/(308.1 − 278.1) = 9.272

答案

COP_max = 9.272

19.波、声与光学

答案: m = 6

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/25

d_i = −150 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −(−150)/25 = 6

答案

m = 6

20.波、声与光学

答案: f_b = 4021 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 25000·(343 − 30)/343 = 22813 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 + 30) = 20979 Hz

拍频

f_b = |f″ − f| = 4021 Hz

答案

f_b = 4021 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers