大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 4 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 700 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 4 m/s²s = 700 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 15 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 15 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 4 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 4 kgθ = 45°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 3.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4.5 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 22 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶部以 31 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 31 m/sθ = 45°h = 15 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一个 1 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 10 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 1 kgθ = 35°μ = 0.15d = 10 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 2 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.1）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 3 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 2.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 2 kgm₂ = 3 kgμ = 0.1d = 2.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一辆以 6 m/s 行驶的 1100 kg 汽车撞上一辆静止的 1600 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1100 kgv₁ = 6 m/sm₂ = 1600 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.动量与碰撞困难

一个 0.3 kg 的小球以 27 m/s 撞到墙上，并以 6 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.3 kgv_in = 27 m/sv_out = 6 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水以 19 L/s 流过一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 75 mm。窄段的压强为 80 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 19 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 80 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一根内径 20 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 2.5 m，出口（通大气）低于水面 3 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q。

d = 20 mmz_C = +2.5 mz₂ = −3 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

容积为 50 L 的容器中装有 380 g CO₂，温度为 90 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 380 gM = 44.01 g/molV = 50 LT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的CH₄从 350 kPa、2 L、40 °C 变化到 750 kPa 和 150 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 350 kPaV₁ = 2 LT₁ = 40 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 150 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台可逆制冷机通过排出 5 kW 的热量使冷库保持在 4 °C，并向 35 °C 的环境放热。求它放热的速率 Q̇_H。

T_L = 4 °CT_H = 35 °CQ̇_L = 5 kW

Q̇_H = kW

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 2 °C 时将房屋保持在 20 °C，向房屋提供 6 kW 热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 20 °CT_L = 2 °CQ̇_H = 6 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 10 cm 的薄会聚透镜前 8 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 8 cmf = 10 cm

d_i = cm

20.波、声与光学困难

波长为 500 nm 的光照射到相距 0.5 mm 的两条缝上。屏距离缝 1 m。求从中央亮条纹到第 3 条亮条纹的距离 y₃。

λ = 500 nmd = 0.5 mmL = 1 mm = 3

y₃ = mm

3溶液

1.运动学

答案: v = 74.83 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·4·700) = 74.83 m/s

答案

v = 74.83 m/s

(269.4 km/h)

2.运动学

答案: t = 4.768 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 15·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 15·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (15 + √(15² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.768 s

答案

t = 4.768 s

3.牛顿定律

答案: a = 6.243 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.1·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.07071) = 6.243 m/s²

答案

a = 6.243 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 28.97 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 44.15 N

m₁·g·sin θ = 17.17 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (44.15 − 17.17 − 0)/8 = 3.372 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 4.5·(9.81 − 3.372) = 28.97 N

答案

T = 28.97 N

5.抛体运动

答案: t = 3.674 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 55° = 12.62 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 55° = 18.02 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·18.02/9.81 = 3.674 s

答案

t = 3.674 s

6.抛体运动

答案: H = 39.49 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 31·sin 45° = 21.92 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 21.92²/(2·9.81) = 24.49 m

离地面的高度

H = 15 + 24.49 = 39.49 m

答案

H = 39.49 m

7.功和能

答案: W_f = 12.05 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.8192 = 8.036 N

F = μN = 0.15·8.036 = 1.205 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.205·10 = 12.05 J

答案

W_f = 12.05 J

8.功和能

答案: v = 5.241 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 29.43·2.5 = 73.58 J

μ·m₁g·d = 0.1·19.62·2.5 = 4.905 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 68.67 → v = √(2·68.67/5) = 5.241 m/s

答案

v = 5.241 m/s

9.动量与碰撞

答案: ΔK = 11733 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1100·6/2700 = 2.444 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1100·6² = 19800 J

K_after = ½·2700·2.444² = 8067 J

损失的能量

ΔK = 19800 − 8067 = 11733 J

答案

ΔK = 11733 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 396 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.3·(6 + 27) = 9.9 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 9.9/0.025 = 396 N

答案

F_avg = 396 N

11.静水压力

答案: F = 19.62 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·1 = 19.62 kN

答案

F = 19.62 kN

12.静水压力

答案: F = 32.37 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·1.25·3 = 32.37 kN

答案

F = 32.37 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₁ = 86.32 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.019/0.007854 = 2.419 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.019/0.004418 = 4.301 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 80 + ½·1000·(4.301² − 2.419²)/1000 = 80 + 6.322 = 86.32 kPa

答案

p₁ = 86.32 kPa

14.连续性和伯努利

答案: Q = 2.41 L/s

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·3) = √(2·9.81·3) = 7.672 m/s

流量

Q = A·v = 0.0003142·7.672 = 0.00241 m³/s = 2.41 L/s

答案

Q = 2.41 L/s

15.理想气体定律

答案: P = 521.4 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 380/44.01 = 8.634 mol

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

压强

P = nRT/V = 8.634·8.314·363.1/0.05 = 521.4 kPa

答案

P = 521.4 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 1.261 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 313.1 K, T₂ = 423.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(350/750)·(423.1/313.1) = 1.261 L

答案

V₂ = 1.261 L

17.热机和制冷机

答案: Q̇_H = 5.559 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = 4 + 273.15 = 277.1 K

可逆循环的热量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 5·308.1/277.1 = 5.559 kW

答案

Q̇_H = 5.559 kW

输入功率：Ẇ = 0.5593 kW。

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.3684 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 275.1) = 16.29

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 6/16.29 = 0.3684 kW

答案

Ẇ_min = 0.3684 kW

19.波、声与光学

答案: d_i = −40 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/8

d_i = −40 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

d_i = −40 cm

20.波、声与光学

答案: y₃ = 3 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 500 × 10⁻⁹·1/(0.5 × 10⁻³) = 1 mm

第 3 条条纹

y₃ = 3·1 = 3 mm

答案

y₃ = 3 mm

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