大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 120 km/ha = −5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 6 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 6 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的雪橇被一根与水平方向成 35° 向上的绳子以 150 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 15 kgF = 150 Nθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 3 m/s 的速度开始沿 35° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 3 m/sθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 12 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 29 m/sθ = 55°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一辆 800 kg 的汽车以恒定的 90 km/h 驶上 4° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 800 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 800 kgθ = 4°F_r = 800 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2.5 kgh = 4 mL = 4.5 mμ = 0.3k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一辆以 19 m/s 行驶的 1800 kg 汽车撞上一辆静止的 600 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1800 kgv₁ = 19 m/sm₂ = 600 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.动量与碰撞困难

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用长 1.8 m 的轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 20°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 2 kgL = 1.8 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 3 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水以 34 L/s 流过一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 100 mm。窄段的压强为 230 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 34 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 230 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 90 kPa。水从水面以下 5 m 处直径 50 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求射流速度 v。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 90 kPa (表压)h = 5 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.理想气体定律中等

容积为 30 L 的容器中装有 430 g He，温度为 65 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 430 gM = 4.003 g/molV = 30 LT = 65 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求N₂在 850 kPa 和 0 °C 下的密度 ρ。

M = 28.01 g/molP = 850 kPaT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机从 550 °C 的热源吸热，向 40 °C 的环境放热。其实际热效率为 40%。求其第二定律效率 η_II，即实际效率与卡诺效率之比。

T_H = 550 °CT_L = 40 °Cη = 40%

η_II = %

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 25 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -18 °C，以 2.5 kW 从冷藏室移走热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 25 °CT_L = -18 °CQ̇_L = 2.5 kW

COP_max =

19.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 5 cm 的薄会聚透镜前 12 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 12 cmf = 5 cm

d_i = cm

20.波、声与光学困难

静止的传感器向以 5 m/s 的速度靠近的汽车发射 35 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 f_b（声速为 343 m/s）。

f = 35 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 6.667 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33.33/5 = 6.667 s

答案

t = 6.667 s

2.运动学

答案: t = 2.165 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−10 = 6·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 6·t − 10 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (6 + √(6² + 2·9.81·10))/9.81 = 2.165 s

答案

t = 2.165 s

3.牛顿定律

答案: a = 7.784 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 147.2 − 150·sin 35° = 61.11 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 122.9 − 6.111

a = 116.8/15 = 7.784 m/s²

答案

a = 7.784 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 0.6221 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 35° + 0.2·cos 35°) = 7.234 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 3²/(2·7.234) = 0.6221 m

答案

d = 0.6221 m

5.抛体运动

答案: t = 1.874 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 50° = 7.713 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 50° = 9.193 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·9.193/9.81 = 1.874 s

答案

t = 1.874 s

6.抛体运动

答案: t = 5.732 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 55° = 16.63 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 55° = 23.76 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 23.76·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (23.76 + √(564.3 + 490.5))/9.81 = 5.732 s

答案

t = 5.732 s

7.功和能

答案: P = 33.69 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 800·9.81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 4° = 547.4 N

F = 547.4 + 800 = 1347 N

功率

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 1347·25 = 33686 W = 33.69 kW

答案

P = 33.69 kW

8.功和能

答案: x = 25.49 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(4 − 0.3·4.5) = 64.99 J

最大压缩量

½kx² = 64.99 → x = √(2·64.99/2000) = 0.2549 m = 25.49 cm

答案

x = 25.49 cm

9.动量与碰撞

答案: ΔK = 81225 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1800·19/2400 = 14.25 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1800·19² = 324900 J

K_after = ½·2400·14.25² = 243675 J

损失的能量

ΔK = 324900 − 243675 = 81225 J

答案

ΔK = 81225 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: v = 293.3 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.8·(1 − cos 20°) = 0.1086 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1086) = 1.459 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 2.01·1.459/0.01 = 293.3 m/s

答案

v = 293.3 m/s

11.静水压力

答案: F = 147.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5·3 = 147.2 kN

答案

F = 147.2 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 4.667 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4.5·3 = 166.9 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.5 + 2.25/(4.5·3) = 4.667 m

答案

y_cp = 4.667 m

13.连续性和伯努利

答案: p₁ = 237.5 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.034/0.01767 = 1.924 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.034/0.007854 = 4.329 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 230 + ½·1000·(4.329² − 1.924²)/1000 = 230 + 7.519 = 237.5 kPa

答案

p₁ = 237.5 kPa

14.连续性和伯努利

答案: v = 16.68 m/s

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(90000/1000 + 9.81·5)) = 16.68 m/s

答案

v = 16.68 m/s

15.理想气体定律

答案: P = 10067 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 430/4.003 = 107.4 mol

T = 65 + 273.15 = 338.1 K

压强

P = nRT/V = 107.4·8.314·338.1/0.03 = 10067 kPa

答案

P = 10067 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 10.48 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

密度

ρ = 850·28.01/(8.314·273.1) = 10.48 kg/m³

答案

ρ = 10.48 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_II = 64.56 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 550 + 273.15 = 823.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

卡诺效率

η_Carnot = 1 − 313.1/823.1 = 61.96 %

第二定律效率

η_II = η/η_Carnot = 40/61.96 = 64.56 %

答案

η_II = 64.56 %

18.热机和制冷机

答案: COP_max = 5.934

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -18 + 273.15 = 255.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 255.1/(298.1 − 255.1) = 5.934

答案

COP_max = 5.934

19.波、声与光学

答案: d_i = 8.571 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/12

d_i = 8.571 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 8.571 cm

20.波、声与光学

答案: f_b = 1036 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 35000·(343 + 5)/343 = 35510 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 5) = 36036 Hz

拍频

f_b = |f″ − f| = 1036 Hz

答案

f_b = 1036 Hz

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