大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)2.778 s12.5

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。

v₀ = 45 km/ha = −4.5 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
v₀ = 7 m/s15 m

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 7 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 7 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
θ = 40°a = ?m = 3 kg

一个 3 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 3 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 1 kg4 kgμ = 0.1

水平桌面上一个 1 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 1 kgm2 = 4 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
v0​ = 38 m/sθ = ?R = 50 m

一个球从水平地面以 38 m/s 抛出，必须落在 50 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 38 m/sR = 50 mg = 9.81 m/s²
θ = °
6.抛体运动困难
h = 35 mv0​ = 13 m/s50°H = ?

一个球从 35 m 高的悬崖顶部以 13 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 13 m/sθ = 50°h = 35 mg = 9.81 m/s²
H = m
7.功和能中等
110 km/h

一辆汽车在水平路面上以 110 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。求制动距离 d。

v = 110 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²
d = m
8.功和能困难
h = 3.5 mL = 2 mμ = 0.25k = 4000 N/m

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2.5 kgh = 3.5 mL = 2 mμ = 0.25k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
9.动量与碰撞中等
4.5 kgv = ?8 gh = 16 cm

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 16 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 4.5 kgh = 16 cmg = 9.81 m/s²
v = m/s
10.动量与碰撞困难
18 m/s20 m/s

一个 0.45 kg 的小球以 18 m/s 撞到墙上，并以 20 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.45 kgvin = 18 m/svout = 20 m/sΔt = 40 ms
Favg = N
11.静水压力中等
闸门d = 0.5 mH = 1.5 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 2 mH = 2.5 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 2 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 200 mm, p1​ = 340 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 200 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 340 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 340 kPav1 = 2 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.连续性和伯努利困难
d1​ = 150 mmd2​ = 75 mm12Δh = 150 mm水银Q = ?

一个水平文丘里流量计（入口 150 mm，喉部 75 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 150 mm。流量系数为 0.95。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d1 = 150 mmd2 = 75 mmΔh = 150 mmCd = 0.95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
15.理想气体定律中等
110 g O₂V = 50 LT = 0 °CP = ?

容积为 50 L 的容器中装有 110 g O₂，温度为 0 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 110 gM = 32 g/molV = 50 LT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想气体定律困难
He, M = 4.003 g/molP = 150 kPaT = 120 °Cρ = ?

按理想气体处理，求He在 150 kPa 和 120 °C 下的密度 ρ。

M = 4.003 g/molP = 150 kPaT = 120 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
17.热机和制冷机中等
TH​ = 600 °CTL​ = 20 °CEQH​ = 3700 kJQL​W = ?

一台热机在 600 °C 的高温热源和 20 °C 的低温热源之间工作。 它吸收 3700 kJ 热量。求它最多能输出的功 Wmax。

TH = 600 °CTL = 20 °CQH = 3700 kJ
Wmax = kJ
18.热机和制冷机困难
TH​ = 600 °CTL​ = 25 °CEQH​ = 3400 kJQL​ = 2278 kJW = 1122 kJ

一台热机每个循环从 600 °C 的热源吸收 3400 kJ 热量，产生 1122 kJ 的功，其余热量排向 25 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 Sgen。

TH = 600 °CTL = 25 °CQH = 3400 kJW = 1122 kJ
Sgen = kJ/K
19.波、声与光学中等
30°90°n1​ = ?亚克力, n2​ = 1.49

对于入射角大于 30° 的每一个角度，透明块内的光在与亚克力（n = 1.49）的界面上都发生全反射。求该透明块的折射率 n1。

θc = 30°n2 = 1.49
n1 =
20.波、声与光学困难
f1​ = 10 cmf2​ = −10 cm12 cm15 cm

两个薄透镜共轴，相距 15 cm：透镜 1 的 f₁ = 10 cm，透镜 2 的 f₂ = −10 cm。一个物体位于透镜 1 前 12 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 di2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f1 = 10 cmf2 = −10 cms = 15 cmdo = 12 cm
di2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 17.36 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·4.5) = 17.36 m

答案

s = 17.36 m
2.运动学

答案: t = 2.602 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 7·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 7·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (7 + √(7² + 2·9.81·15))/9.81 = 2.602 s

答案

t = 2.602 s
3.牛顿定律

答案: a = 4.803 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.2·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1532) = 4.803 m/s²

答案

a = 4.803 m/s²
4.牛顿定律

答案: a = 7.652 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (39.24 − 0.981)/5 = 7.652 m/s²

答案

a = 7.652 m/s²
5.抛体运动

答案: θ = 9.929 °

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·50/38² = 0.3397

相角

2θ = 19.86° → θ = 9.929°

答案

θ = 9.929°

另一个解为 90° − θ = 80.07°。

6.抛体运动

答案: H = 40.05 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

vy = 13·sin 50° = 9.959 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = vy²/(2g) = 9.959²/(2·9.81) = 5.055 m

离地面的高度

H = 35 + 5.055 = 40.05 m

答案

H = 40.05 m
7.功和能

答案: d = 79.31 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 110/3.6 = 30.56 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30.56²/(2·0.6·9.81) = 79.31 m

答案

d = 79.31 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: x = 19.18 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(3.5 − 0.25·2) = 73.58 J

最大压缩量

½kx² = 73.58 → x = √(2·73.58/4000) = 0.1918 m = 19.18 cm

答案

x = 19.18 cm
9.动量与碰撞

答案: v = 998.4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.16) = 1.772 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 4.5)·1.772/0.008 = 998.4 m/s

答案

v = 998.4 m/s
10.动量与碰撞

答案: Favg = 427.5 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(20 + 18) = 17.1 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 17.1/0.04 = 427.5 N

答案

Favg = 427.5 N
11.静水压力

答案: F = 55.18 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
闸门d = 0.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.25·4.5 = 55.18 kN

答案

F = 55.18 kN
12.静水压力

答案: ycp = 3.41 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
闸门d = 2 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·3.75 = 119.6 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 1.5·2.5³/12 = 1.953 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.25 + 1.953/(3.25·3.75) = 3.41 m

答案

ycp = 3.41 m
13.连续性和伯努利

答案: p2 = 240.9 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(200/75)² = 14.22 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 14.22²)/1000 = −99.14 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 340 + (−99.14) = 240.9 kPa

答案

p2 = 240.9 kPa
14.连续性和伯努利

答案: Q = 26.4 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.15 = 18541 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 75/150 = 0.5
v2 = √(2·18541/(1000·(1 − 0.0625))) = 6.289 m/s

实际流量

Q = Cd·A2·v2 = 0.95·0.004418·6.289 = 0.0264 m³/s = 26.4 L/s

答案

Q = 26.4 L/s
15.理想气体定律

答案: P = 156.1 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 110/32 = 3.438 mol
T = 0 + 273.15 = 273.1 K

压强

P = nRT/V = 3.438·8.314·273.1/0.05 = 156.1 kPa

答案

P = 156.1 kPa
16.理想气体定律

答案: ρ = 0.1837 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 120 + 273.15 = 393.1 K

密度

ρ = 150·4.003/(8.314·393.1) = 0.1837 kg/m³

答案

ρ = 0.1837 kg/m³
17.热机和制冷机

答案: Wmax = 2458 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 600 + 273.15 = 873.1 K
TL = 20 + 273.15 = 293.1 K

卡诺效率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 293.1/873.1 = 66.43 %

最大功

Wmax = ηmax·QH = 0.6643·3700 = 2458 kJ

答案

Wmax = 2458 kJ
18.热机和制冷机

答案: Sgen = 3.747 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 QH/TH，低温热源得到 QL/TL。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

QL = QH − W = 3400 − 1122 = 2278 kJ

绝对温度

TH = 600 + 273.15 = 873.1 K
TL = 25 + 273.15 = 298.1 K

热源的熵变

ΔSH = −3400/873.1 = −3.894 kJ/K
ΔSL = 2278/298.1 = 7.64 kJ/K
Sgen = 7.64 − 3.894 = 3.747 kJ/K

答案

Sgen = 3.747 kJ/K

Sgen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: n1 = 2.98

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

透明块的折射率

n₁ = n₂/sin θc = 1.49/0.5 = 2.98

答案

n1 = 2.98
20.波、声与光学

答案: di2 = −12.86 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/di1 = 1/10 − 1/12 → di1 = 60 cm

透镜 2 的物

do2 = 15 − 60 = −45 cm

最终的像

1/di2 = 1/(−10) − 1/(−45) → di2 = −12.86 cm

答案

di2 = −12.86 cm

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