大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 120 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 20 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 20 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 2 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 2 kgθ = 45°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 9 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 9 kgm₂ = 5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 26 m/s、与水平方向成 45° 的角度朝 41 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 26 m/sθ = 45°x = 41 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 20 m/sθ = 25°h = 60 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 2000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.15 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 3 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.15 kgk = 2000 N/mx = 3 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.功和能困难

一辆 10 kg 的小车从光滑轨道上 8 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 10 kgh = 8 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 1 kg 滑块与一个静止的 4.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 1 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.3 kg 的小球以 26 m/s 撞到墙上，并以 9 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.3 kgv_in = 26 m/sv_out = 9 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 0.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 40 mm。宽段压强为 370 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 40 mmp₁ = 370 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个水平文丘里流量计（入口 300 mm，喉部 150 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 400 mm。流量系数为 0.97。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmΔh = 400 mmC_d = 0.97ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

容积为 30 L 的容器中装有 320 g Ar，温度为 15 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 320 gM = 39.95 g/molV = 30 LT = 15 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求CO₂在 550 kPa 和 190 °C 下的密度 ρ。

M = 44.01 g/molP = 550 kPaT = 190 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 425 °C 的高温热源和 40 °C 的低温热源之间工作。它吸收 3900 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 425 °CT_L = 40 °CQ_H = 3900 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 -10 °C 时将房屋保持在 22 °C，向房屋提供 10 kW 热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 22 °CT_L = -10 °CQ̇_H = 10 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

两端开口的管的第 5 次谐波必须为 1319 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 5f₅ = 1319 Hz

L = m

20.波、声与光学困难

静止的传感器向以 10 m/s 的速度远离的汽车发射 35 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 f_b（声速为 343 m/s）。

f = 35 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 111.1 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·5) = 111.1 m

答案

s = 111.1 m

2.运动学

答案: h_max = 35.39 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 20²/(2·9.81) = 20.39 m

离地面的高度

h_max = 15 + 20.39 = 35.39 m

答案

h_max = 35.39 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.203 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.25·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1768) = 5.203 m/s²

答案

a = 5.203 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 1.927 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 22.07)/14 = 1.927 m/s²

答案

a = 1.927 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 16.61 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 26·cos 45° = 18.38 m/s

t = x/v_x = 41/18.38 = 2.23 s

此时的高度

y = 18.38·2.23 − ½·9.81·2.23² = 16.61 m

答案

y = 16.61 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: x = 80.91 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 25° = 18.13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 25° = 8.452 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 60 + 8.452·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.452 + √(71.44 + 1177))/9.81 = 4.464 s

水平距离

x = v_x·t = 18.13·4.464 = 80.91 m

答案

x = 80.91 m

7.功和能

答案: h = 0.6116 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 3 cm = 0.03 m

½kx² = ½·2000·0.03² = 0.9 J

高度

m·g = 0.15·9.81 = 1.472 N

h = ½kx²/(mg) = 0.9/1.472 = 0.6116 m

答案

h = 0.6116 m

8.功和能

答案: N = 137.3 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(8 − 5) = 58.86 m²/s²

顶点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

N = mv²/R − mg = 10·58.86/2.5 − 98.1 = 137.3 N

答案

N = 137.3 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = −3.818 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1 − 4.5)/(1 + 4.5)·6 = −3.818 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 4.5)·6 = 2.182 m/s

答案

v′₁ = −3.818 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

10.动量与碰撞

答案: J = 10.5 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.3·(9 + 26) = 10.5 N·s

答案

J = 10.5 N·s

11.静水压力

答案: F = 33.11 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·1.5 = 33.11 kN

答案

F = 33.11 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 1.722 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1.5·2 = 37.08 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0.6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 0.6667/(1.5·2) = 1.722 m

答案

y_cp = 1.722 m

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 271.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(150/40)² = 14.06 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 14.06²)/1000 = −98.38 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 370 + (−98.38) = 271.6 kPa

答案

p₂ = 271.6 kPa

14.连续性和伯努利

答案: Q = 176 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.4 = 49442 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 150/300 = 0.5

v₂ = √(2·49442/(1000·(1 − 0.0625))) = 10.27 m/s

实际流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.97·0.01767·10.27 = 0.176 m³/s = 176 L/s

答案

Q = 176 L/s

15.理想气体定律

答案: P = 639.6 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 320/39.95 = 8.01 mol

T = 15 + 273.15 = 288.1 K

压强

P = nRT/V = 8.01·8.314·288.1/0.03 = 639.6 kPa

答案

P = 639.6 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 6.286 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 190 + 273.15 = 463.1 K

密度

ρ = 550·44.01/(8.314·463.1) = 6.286 kg/m³

答案

ρ = 6.286 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: W_max = 2151 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 425 + 273.15 = 698.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313.1/698.1 = 55.15 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.5515·3900 = 2151 kJ

答案

W_max = 2151 kJ

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 1.084 kW

绝对温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295.1/(295.1 − 263.1) = 9.223

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 10/9.223 = 1.084 kW

答案

Ẇ_min = 1.084 kW

19.波、声与光学

答案: L = 0.6501 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/1319 = 0.26 m

长度

L = nλ/2 = 5·0.26/2 = 0.6501 m

答案

L = 0.6501 m

20.波、声与光学

答案: f_b = 1983 Hz

汽车处的频率

f′ = 35000·(343 − 10)/343 = 33980 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 + 10) = 33017 Hz

拍频

f_b = |f″ − f| = 1983 Hz

答案

f_b = 1983 Hz

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