大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 240 km/h 的速度，可用跑道长 800 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 240 km/hs = 800 m

a = m/s²

2.运动学困难

球 A 从 45 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 18 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 45 mv_0B = 18 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 12 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 12 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 9 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 9 kgm₂ = 5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 26 m/s 抛出，必须落在 30 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 26 m/sR = 30 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从地面以 30 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 9 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 30 m/sθ = 55°h_roof = 9 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 500 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.05 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 10 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.05 kgk = 500 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 1.5 mL = 1 mμ = 0.25k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一个以 34 m/s 水平运动的 11 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。7 kg 的碎片以 74 m/s 继续向前运动。求 4 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 11 kgu = 34 m/sm₁ = 7 kgv′₁ = 74 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 30 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.1 kgv_in = 30 m/sv_out = 15 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 40 mm。宽段压强为 270 kPa，流速为 0.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 270 kPav₁ = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 150 mm 缩小到 40 mm，同时升高 5 m。截面 1 处压强为 260 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 40 mmp₁ = 260 kPav₁ = 1 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

460 g CH₄在 100 kPa 和 45 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 460 gM = 16.04 g/molP = 100 kPaT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

一定量的Ar从 300 kPa、10 L、10 °C 变化到 400 kPa 和 110 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 300 kPaV₁ = 10 LT₁ = 10 °CP₂ = 400 kPaT₂ = 110 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 400 °C 的高温热源和 10 °C 的低温热源之间工作。它吸收 800 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 400 °CT_L = 10 °CQ_H = 800 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台卡诺热机从 700 °C 的热源吸收 50 kW 热量，并向 20 °C 的环境放热。它的全部功用于驱动一台卡诺制冷机，该制冷机从 -25 °C 的冷冻室排出热量，也向 20 °C 的环境放热。求从冷冻室排出热量的速率 Q̇_L。

T_H = 700 °CT₀ = 20 °CT_L = -25 °CQ̇_H = 50 kW

Q̇_L = kW

19.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 2 m 处的声级为 60 dB。忽略吸收和反射，求 20 m 处的声级 β₂。

β₁ = 60 dBr₁ = 2 mr₂ = 20 m

β₂ = dB

20.波、声与光学困难

波长为 450 nm 的光照射到相距 0.4 mm 的两条缝上。屏距离缝 2 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 450 nmd = 0.4 mmL = 2 m

Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: a = 2.778 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 240/3.6 = 66.67 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 66.67²/(2·800) = 2.778 m/s²

答案

a = 2.778 m/s²

2.运动学

答案: t = 2.5 s

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

45 − ½g·t² = 18·t − ½g·t² → t = 45/18 = 2.5 s

答案

t = 2.5 s

3.牛顿定律

答案: a = 2.433 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.1·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.09397) = 2.433 m/s²

答案

a = 2.433 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 39.42 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 22.07)/14 = 1.927 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9·1.927 + 22.07 = 39.42 N

答案

T = 39.42 N

5.抛体运动

答案: θ = 12.9 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·30/26² = 0.4354

相角

2θ = 25.81° → θ = 12.9°

答案

θ = 12.9°

另一个解为 90° − θ = 77.1°。

6.抛体运动

答案: x = 79.36 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 17.21 m/s, v_y = 24.57 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

9 = 24.57·t − 4.905·t²

t = (24.57 + √(24.57² − 2·9.81·9))/9.81 = 4.612 s

水平距离

x = v_x·t = 17.21·4.612 = 79.36 m

答案

x = 79.36 m

7.功和能

答案: h = 5.097 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·500·0.1² = 2.5 J

高度

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 2.5/0.4905 = 5.097 m

答案

h = 5.097 m

8.功和能

答案: x = 7.004 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(1.5 − 0.25·1) = 12.26 J

最大压缩量

½kx² = 12.26 → x = √(2·12.26/5000) = 0.07004 m = 7.004 cm

答案

x = 7.004 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = −36 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 11·34 = 374 kg·m/s

碰撞后的动量

374 = 7·74 + 4·v′₂

v′₂ = (374 − 518)/4 = −36 m/s

答案

v′₂ = −36 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

10.动量与碰撞

答案: J = 4.5 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(15 + 30) = 4.5 N·s

答案

J = 4.5 N·s

11.静水压力

答案: F = 78.48 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·2 = 78.48 kN

答案

F = 78.48 kN

12.静水压力

答案: F = 353.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·9 = 353.2 kN

答案

F = 353.2 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 259.3 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(100/40)² = 4.688 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 4.688²)/1000 = −10.71 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 270 + (−10.71) = 259.3 kPa

答案

p₂ = 259.3 kPa

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 112.6 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(150/40)² = 14.06 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 14.06²)/1000 = −98.38 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 260 + (−98.38) − 49.05 = 112.6 kPa

答案

p₂ = 112.6 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 758.6 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 460/16.04 = 28.68 mol

T = 45 + 273.15 = 318.1 K

体积

V = nRT/P = 28.68·8.314·318.1/100 = 758.6 L

答案

V = 758.6 L

16.理想气体定律

答案: V₂ = 10.15 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 283.1 K, T₂ = 383.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(300/400)·(383.1/283.1) = 10.15 L

答案

V₂ = 10.15 L

17.热机和制冷机

答案: W_max = 463.5 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283.1/673.1 = 57.94 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.5794·800 = 463.5 kJ

答案

W_max = 463.5 kJ

18.热机和制冷机

答案: Q̇_L = 192.7 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

T₀ = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

热机的功

η = 1 − 293.1/973.1 = 0.6988

Ẇ = 0.6988·50 = 34.94 kW

制冷机排出的热量

COP_R = 248.1/(293.1 − 248.1) = 5.514

Q̇_L = 5.514·34.94 = 192.7 kW

答案

Q̇_L = 192.7 kW

19.波、声与光学

答案: β₂ = 40 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (2/20)² = 0.01

新的声级

β₂ = 60 + 10·log₁₀(0.01) = 40 dB

答案

β₂ = 40 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

20.波、声与光学

答案: Δy = 2.25 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·2/(0.4 × 10⁻³) = 2.25 mm

答案

Δy = 2.25 mm

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