大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率
η = W/QH = 1 − QC/QH
卡诺效率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
制冷机 COP
COPR = QC/W
热泵 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
能量衡算
QH = W + QC

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)0.9 s12.5

一位以 45 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.9 s，之后汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 45 km/htr = 0.9 sa = −4 m/s²
d = m
2.运动学困难
v₀ = 18 m/s5 m

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 18 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求小球离地面的最大高度 hmax。

v₀ = 18 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²
hmax = m
3.牛顿定律中等
θ = 20°35 kgF = ?

一个 35 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 20° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 35 kgθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²
F = N
4.牛顿定律困难
m1​ = 3 kg4.5 kgμ = 0.2

水平桌面上一个 3 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 3 kgm2 = 4.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 28 m/s55°射程H = ?

一个球 从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v0 = 28 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²
H = m
6.抛体运动困难
6 mv0​ = 32 m/s45°x = ?

一个球从地面以 32 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 6 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 32 m/sθ = 45°hroof = 6 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.功和能中等
25°d = 7 mμ = 0.35

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.35。求它沿斜面滑行 7 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.35d = 7 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
8.功和能困难
F = 15 N20°μ = 0.32 kg

一个 2 kg 的物块从 20° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 15 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.3。求物块沿斜坡向上移动 7 m 后的速度 v。

m = 2 kgF = 15 Nθ = 20°μ = 0.3d = 7 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
9.动量与碰撞中等
1900 kg6 m/s2000 kg

一辆以 6 m/s 行驶的 1900 kg 汽车撞上一辆静止的 2000 kg 汽车，两车卡在一起。 碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m1 = 1900 kgv1 = 6 m/sm2 = 2000 kgv2 = 0
ΔK = J
10.动量与碰撞困难
15 m/s9 m/s

一个 0.5 kg 的小球以 15 m/s 撞到墙上，并以 9 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.5 kgvin = 15 m/svout = 9 m/sΔt = 20 ms
Favg = N
11.静水压力中等
闸门d = 2 mH = 2 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水压力困难
闸门d = 2 mH = 2 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.连续性和伯努利中等
12d1​ = 150 mm, p1​ = ?d2​ = 75 mm, p2​ = 150 kPa

水以 36 L/s 流过一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 75 mm。窄段的压强为 150 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p1。

Q = 36 L/sd1 = 150 mmd2 = 75 mmp2 = 150 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
14.连续性和伯努利困难
12d1​ = 150 mm, p1​ = 100 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 5 m

水在一根管道中向上流动，管径从 150 mm 缩小到 100 mm，同时升高 5 m。截面 1 处压强为 100 kPa，流速为 1.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 100 kPav1 = 1.75 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.理想气体定律中等
130 g O₂P = 350 kPaT = 70 °CV = ?

130 g O₂在 350 kPa 和 70 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 130 gM = 32 g/molP = 350 kPaT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
16.理想气体定律困难
CO₂, M = 44.01 g/molP = 1000 kPaT = 120 °Cρ = ?

按理想气体处理，求CO₂在 1000 kPa 和 120 °C 下的密度 ρ。

M = 44.01 g/molP = 1000 kPaT = 120 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
17.热机和制冷机中等
TH​ = 375 °CTL​ = 15 °CEQH​ = 4900 kJQL​W = ?

一台热机在 375 °C 的高温热源和 15 °C 的低温热源之间工作。 它吸收 4900 kJ 热量。求它最多能输出的功 Wmax。

TH = 375 °CTL = 15 °CQH = 4900 kJ
Wmax = kJ
18.热机和制冷机困难
TH​ = 25 °CTL​ = 2 °CRQ̇H​Q̇L​ = 1.5 kWẆ = ?

一台冰箱在 25 °C 的厨房中将冷藏室保持在 2 °C，以 1.5 kW 从冷藏室移走热量。 求最小输入功率 Ẇmin。

TH = 25 °CTL = 2 °CQ̇L = 1.5 kW
Ẇmin = kW
19.波、声与光学中等
L = 1.5 mn = 3

两端开口的管长 1.5 m。声速为 343 m/s。求其第 3 次谐波的频率 f3。

v = 343 m/sn = 3L = 1.5 m
f3 = Hz
20.波、声与光学困难
SO30 m/sf = 25 kHz

静止的泊车传感器向以 30 m/s 的速度远离的汽车发射 25 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 25 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s
f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 30.78 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

反应距离

d1 = v₀·tr = 12.5·0.9 = 11.25 m

制动距离

d2 = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·4) = 19.53 m

合计

d = 11.25 + 19.53 = 30.78 m

答案

d = 30.78 m
2.运动学

答案: hmax = 21.51 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 18²/(2·9.81) = 16.51 m

离地面的高度

hmax = 5 + 16.51 = 21.51 m

答案

hmax = 21.51 m
3.牛顿定律

答案: F = 198.1 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 117.4 + 80.66 = 198.1 N

答案

F = 198.1 N
4.牛顿定律

答案: T = 21.19 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (44.15 − 5.886)/7.5 = 5.101 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 3·5.101 + 5.886 = 21.19 N

答案

T = 21.19 N
5.抛体运动

答案: H = 26.81 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 28·cos 55° = 16.06 m/s
vy = v0·sin θ = 28·sin 55° = 22.94 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：vy² = 2gH。

H = vy²/(2g) = 22.94²/(2·9.81) = 26.81 m

答案

H = 26.81 m
6.抛体运动

答案: x = 97.99 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

vx = 22.63 m/s, vy = 22.63 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

6 = 22.63·t − 4.905·t²
t = (22.63 + √(22.63² − 2·9.81·6))/9.81 = 4.331 s

水平距离

x = vx·t = 22.63·4.331 = 97.99 m

答案

x = 97.99 m
7.功和能

答案: v = 3.805 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·7·(0.4226 − 0.35·0.9063)) = 3.805 m/s

答案

v = 3.805 m/s
8.功和能

答案: v = 4.394 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N
mg·sin θ = 6.71 N
μ·mg·cos θ = 5.531 N

功–能关系

½mv² = (15 − 12.24)·7 = 19.31 J
v = √(2·19.31/2) = 4.394 m/s

答案

v = 4.394 m/s
9.动量与碰撞

答案: ΔK = 17538 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 1900·6/3900 = 2.923 m/s

碰撞前后的动能

Kbefore = ½·1900·6² = 34200 J
Kafter = ½·3900·2.923² = 16662 J

损失的能量

ΔK = 34200 − 16662 = 17538 J

答案

ΔK = 17538 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: Favg = 600 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.5·(9 + 15) = 12 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 12/0.02 = 600 N

答案

Favg = 600 N
11.静水压力

答案: F = 58.86 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
闸门d = 2 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·2 = 58.86 kN

答案

F = 58.86 kN
12.静水压力

答案: ycp = 3.111 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
闸门d = 2 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·2 = 58.86 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0.6667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 0.6667/(3·2) = 3.111 m

答案

ycp = 3.111 m
13.连续性和伯努利

答案: p1 = 181.1 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v1 = Q/A1 = 0.036/0.01767 = 2.037 m/s
v2 = Q/A2 = 0.036/0.004418 = 8.149 m/s

伯努利方程

p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 150 + ½·1000·(8.149² − 2.037²)/1000 = 150 + 31.13 = 181.1 kPa

答案

p1 = 181.1 kPa
14.连续性和伯努利

答案: p2 = 44.73 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1.75·(150/100)² = 3.938 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.75² − 3.938²)/1000 = −6.221 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 100 + (−6.221) − 49.05 = 44.73 kPa

答案

p2 = 44.73 kPa
15.理想气体定律

答案: V = 33.11 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 130/32 = 4.063 mol
T = 70 + 273.15 = 343.1 K

体积

V = nRT/P = 4.063·8.314·343.1/350 = 33.11 L

答案

V = 33.11 L
16.理想气体定律

答案: ρ = 13.46 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 120 + 273.15 = 393.1 K

密度

ρ = 1000·44.01/(8.314·393.1) = 13.46 kg/m³

答案

ρ = 13.46 kg/m³
17.热机和制冷机

答案: Wmax = 2722 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 375 + 273.15 = 648.1 K
TL = 15 + 273.15 = 288.1 K

卡诺效率

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 288.1/648.1 = 55.54 %

最大功

Wmax = ηmax·QH = 0.5554·4900 = 2722 kJ

答案

Wmax = 2722 kJ
18.热机和制冷机

答案: Ẇmin = 0.1254 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 TH 和 TL 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：ηmax = 1 − TL/TH，COPR,max = TL/(TH − TL)，COPHP,max = TH/(TH − TL)。能量总是守恒：QH = W + QL。

绝对温度

TH = 25 + 273.15 = 298.1 K
TL = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能的最佳 COP

COPR,max = TL/(TH − TL) = 275.1/(298.1 − 275.1) = 11.96

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇmin = Q̇L/COP = 1.5/11.96 = 0.1254 kW

答案

Ẇmin = 0.1254 kW
19.波、声与光学

答案: f3 = 343 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·1.5/3 = 1 m

频率

f = v/λ = 343/1 = 343 Hz

答案

f3 = 343 Hz
20.波、声与光学

答案: f″ = 20979 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 25000·(343 − 30)/343 = 22813 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 + 30) = 20979 Hz

答案

f″ = 20979 Hz

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