大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 100 km/ha = −3 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

球 A 从 50 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 22 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 50 mv_0B = 22 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 4.2 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 5 m/sd = 4.2 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 95 N 的水平力拉前面 7 kg 的物块；10 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 10 kgm₂ = 7 kgF = 95 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 12 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶部以 29 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 29 m/sθ = 65°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 2000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.2 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 2 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.2 kgk = 2000 N/mx = 2 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 10 kgh = 2.5 mL = 4 mμ = 0.15k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 11 m/s 运动的 3.5 kg 滑块与一个静止的 2 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.动量与碰撞困难

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用长 1.3 m 的轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 25°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 4.5 kgL = 1.3 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 300 mm，喉部直径 150 mm。入口处的压强比喉部高 26 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 26 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

一根内径 20 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 2.5 m，出口（通大气）低于水面 3.5 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求 C 点的绝对压强 p_C。大气压为 101.3 kPa。

d = 20 mmz_C = +2.5 mz₂ = −3.5 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 50 L 的容器中装有 50 g CO₂，温度为 0 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 50 gM = 44.01 g/molV = 50 LT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的CH₄从 150 kPa、5 L、20 °C 变化到 400 kPa 和 110 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 150 kPaV₁ = 5 LT₁ = 20 °CP₂ = 400 kPaT₂ = 110 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台热机在 725 °C 的高温热源和 35 °C 的低温热源之间工作。它吸收 4000 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 725 °CT_L = 35 °CQ_H = 4000 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 25 °C 的厨房中将冷藏室保持在 2 °C，以 1.5 kW 从冷藏室移走热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 25 °CT_L = 2 °CQ̇_L = 1.5 kW

COP_max =

19.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 10 m 处的声级为 70 dB。忽略吸收和反射，求 50 m 处的声级 β₂。

β₁ = 70 dBr₁ = 10 mr₂ = 50 m

β₂ = dB

20.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 25 m/s 的速度远离的汽车发射 35 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 35 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 9.259 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27.78/3 = 9.259 s

答案

t = 9.259 s

2.运动学

答案: y = 24.66 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

50 − ½g·t² = 22·t − ½g·t² → t = 50/22 = 2.273 s

相遇高度

y = 22·2.273 − ½·9.81·2.273² = 24.66 m

答案

y = 24.66 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.3034

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 5²/(2·4.2) = 2.976 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.976/9.81 = 0.3034

答案

μ = 0.3034

4.牛顿定律

答案: T = 55.88 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (95 − 16.68)/17 = 4.607 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 10·(4.607 + 0.981) = 55.88 N

答案

T = 55.88 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: H = 2.415 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 35° = 9.83 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 35° = 6.883 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 6.883²/(2·9.81) = 2.415 m

答案

H = 2.415 m

6.抛体运动

答案: H = 75.21 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 29·sin 65° = 26.28 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 26.28²/(2·9.81) = 35.21 m

离地面的高度

H = 40 + 35.21 = 75.21 m

答案

H = 75.21 m

7.功和能

答案: h = 0.2039 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 2 cm = 0.02 m

½kx² = ½·2000·0.02² = 0.4 J

高度

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

h = ½kx²/(mg) = 0.4/1.962 = 0.2039 m

答案

h = 0.2039 m

8.功和能

答案: v = 6.106 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(2.5 − 0.15·4) = 186.4 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.9) = 6.106 m/s

答案

v = 6.106 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₁ = 3 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3.5 − 2)/(3.5 + 2)·11 = 3 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 2)·11 = 14 m/s

答案

v′₁ = 3 m/s

10.动量与碰撞

答案: v = 697.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.3·(1 − cos 25°) = 0.1218 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1218) = 1.546 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.51·1.546/0.01 = 697.2 m/s

答案

v = 697.2 m/s

11.静水压力

答案: F = 143.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·4.5 = 143.5 kN

答案

F = 143.5 kN

12.静水压力

答案: F = 73.58 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·3 = 73.58 kN

答案

F = 73.58 kN

13.连续性和伯努利

答案: Q = 131.6 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(150/300)² = 0.25·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·26000/(1000·(1 − 0.0625))) = 7.448 m/s

v₁ = 1.862 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.01767·7.448 = 0.1316 m³/s = 131.6 L/s

答案

Q = 131.6 L/s

14.连续性和伯努利

答案: p_C = 42.44 kPa

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·3.5) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s

从液面到 C 的伯努利方程

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(8.287²/2 + 9.81·2.5)/1000 = 101.3 − 58.86 = 42.44 kPa

答案

p_C = 42.44 kPa

如果该压强降到水的饱和蒸汽压，虹吸就会停止工作。

15.理想气体定律

答案: P = 51.6 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 50/44.01 = 1.136 mol

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

压强

P = nRT/V = 1.136·8.314·273.1/0.05 = 51.6 kPa

答案

P = 51.6 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 2.451 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 293.1 K, T₂ = 383.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(150/400)·(383.1/293.1) = 2.451 L

答案

V₂ = 2.451 L

17.热机和制冷机

答案: W_max = 2765 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 725 + 273.15 = 998.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308.1/998.1 = 69.13 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.6913·4000 = 2765 kJ

答案

W_max = 2765 kJ

18.热机和制冷机

答案: COP_max = 11.96

绝对温度

T_H = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 275.1/(298.1 − 275.1) = 11.96

答案

COP_max = 11.96

19.波、声与光学

答案: β₂ = 56.02 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (10/50)² = 0.04

新的声级

β₂ = 70 + 10·log₁₀(0.04) = 56.02 dB

答案

β₂ = 56.02 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

20.波、声与光学

答案: f″ = 30245 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 35000·(343 − 25)/343 = 32449 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 + 25) = 30245 Hz

答案

f″ = 30245 Hz

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