大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 120 km/ha = −7 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 32 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 32 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 4 kg 的物块沿倾角为 35° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 4 kgθ = 35°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 110 N 的水平力拉前面 2 kg 的物块；9 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 9 kgm₂ = 2 kgF = 110 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 20 m/s、与水平方向成 40° 的角度朝 12 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 20 m/sθ = 40°x = 12 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 30 m/sθ = 45°h = 40 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个 1 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 16 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 1 kgθ = 35°μ = 0.15d = 16 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 8 kg 的物块从 30° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 115 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.25。求物块沿斜坡向上移动 9 m 后的速度 v。

m = 8 kgF = 115 Nθ = 30°μ = 0.25d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一个以 17 m/s 水平运动的 19 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。4 kg 的碎片以 30 m/s 继续向前运动。求 15 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 19 kgu = 17 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 30 m/sm₂ = 15 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一辆 1800 kg 的汽车撞上一辆停放的 1000 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 19 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1800 kgm₂ = 1000 kgd = 19 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 300 mm，喉部直径 150 mm。入口处的压强比喉部高 57 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 57 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 40 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 290 kPa，流速为 2.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 290 kPav₁ = 2.75 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

470 g O₂在 200 kPa 和 70 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 470 gM = 32 g/molP = 200 kPaT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求N₂在 900 kPa 和 170 °C 下的密度 ρ。

M = 28.01 g/molP = 900 kPaT = 170 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 675 °C 的高温热源和 5 °C 的低温热源之间工作。它吸收 3400 kJ 热量。求它最多能输出的功 W_max。

T_H = 675 °CT_L = 5 °CQ_H = 3400 kJ

W_max = kJ

18.热机和制冷机困难

两台卡诺热机串联工作。热机 A 从 600 °C 的热源吸热，向温度为 T_m 的中间热源放热。热机 B 吸收这些热量的全部，并向 10 °C 的热源放热。两台热机的热效率相同。求 T_m，以 °C 表示。

T_H = 600 °CT_L = 10 °C

T_m = °C

19.波、声与光学中等

一个高 5 cm 的物体位于焦距为 25 cm 的薄发散透镜前 60 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 5 cmd_o = 60 cmf = −25 cm

h_i = cm

20.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.48，包层 n₂ = 1.43。求它的数值孔径 NA。

n₁ = 1.48n₂ = 1.43

NA =

3溶液

1.运动学

答案: t = 4.762 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33.33/7 = 4.762 s

答案

t = 4.762 s

2.运动学

答案: h_max = 153.4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 32·1.5 = 48 m/s

h₁ = ½·32·1.5² = 36 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 48²/(2·9.81) = 117.4 m

h_max = 36 + 117.4 = 153.4 m

答案

h_max = 153.4 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.627 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0) = 5.627 m/s²

答案

a = 5.627 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 90 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (110 − 16.19)/11 = 8.528 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 9·(8.528 + 1.472) = 90 N

答案

T = 90 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: y = 7.06 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 20·cos 40° = 15.32 m/s

t = x/v_x = 12/15.32 = 0.7832 s

此时的高度

y = 12.86·0.7832 − ½·9.81·0.7832² = 7.06 m

答案

y = 7.06 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 121.9 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 45° = 21.21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 45° = 21.21 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 40 + 21.21·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (21.21 + √(450 + 784.8))/9.81 = 5.744 s

水平距离

x = v_x·t = 21.21·5.744 = 121.9 m

答案

x = 121.9 m

7.功和能

答案: W_f = 19.29 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.8192 = 8.036 N

F = μN = 0.15·8.036 = 1.205 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.205·16 = 19.29 J

答案

W_f = 19.29 J

8.功和能

答案: v = 11.5 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 8·9.81 = 78.48 N

mg·sin θ = 39.24 N

μ·mg·cos θ = 16.99 N

功–能关系

½mv² = (115 − 56.23)·9 = 528.9 J

v = √(2·528.9/8) = 11.5 m/s

答案

v = 11.5 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = 13.53 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 19·17 = 323 kg·m/s

碰撞后的动量

323 = 4·30 + 15·v′₂

v′₂ = (323 − 120)/15 = 13.53 m/s

答案

v′₂ = 13.53 m/s

10.动量与碰撞

答案: v₁ = 25.13 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·19) = 16.15 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·16.15/1800 = 25.13 m/s

答案

v₁ = 25.13 m/s

(90.46 km/h)

11.静水压力

答案: F = 79.71 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·2.5 = 79.71 kN

答案

F = 79.71 kN

12.静水压力

答案: F = 71.22 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.75·3 = 71.22 kN

答案

F = 71.22 kN

13.连续性和伯努利

答案: Q = 194.9 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(150/300)² = 0.25·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·57000/(1000·(1 − 0.0625))) = 11.03 m/s

v₁ = 2.757 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.01767·11.03 = 0.1949 m³/s = 194.9 L/s

答案

Q = 194.9 L/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 217.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.75·(75/40)² = 9.668 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.75² − 9.668²)/1000 = −42.95 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 290 + (−42.95) − 29.43 = 217.6 kPa

答案

p₂ = 217.6 kPa

15.理想气体定律

答案: V = 209.5 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 470/32 = 14.69 mol

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

体积

V = nRT/P = 14.69·8.314·343.1/200 = 209.5 L

答案

V = 209.5 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 6.842 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 170 + 273.15 = 443.1 K

密度

ρ = 900·28.01/(8.314·443.1) = 6.842 kg/m³

答案

ρ = 6.842 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: W_max = 2403 kJ

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 675 + 273.15 = 948.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278.1/948.1 = 70.66 %

最大功

W_max = η_max·Q_H = 0.7066·3400 = 2403 kJ

答案

W_max = 2403 kJ

18.热机和制冷机

答案: T_m = 224.1 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

效率相等

由 1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m 得 T_m² = T_H·T_L。

T_m = √(873.1·283.1) = 497.2 K = 224.1 °C

答案

T_m = 224.1 °C

19.波、声与光学

答案: h_i = 1.471 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−25) − 1/60

d_i = −17.65 cm

放大率与像高

m = −(−17.65)/60 = 0.2941

h_i = 0.2941·5 = 1.471 cm

答案

h_i = 1.471 cm

20.波、声与光学

答案: NA = 0.3814

包层处的临界角

sin θc = 1.43/1.48 = 0.9662 → θc = 75.06°

数值孔径

NA = √(1.48² − 1.43²) = 0.3814

答案

NA = 0.3814

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