大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 3.5 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1100 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 3.5 m/s²s = 1100 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 7 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 7 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 17 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 17 kgθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 2 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 25° 的角度抛出，落在 115 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 25°R = 115 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 21 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 4 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 21 m/sθ = 55°h_roof = 4 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一辆 800 kg 的汽车以恒定的 72 km/h 驶上 4° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 300 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 800 kgθ = 4°F_r = 300 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 3.5 mL = 5 mμ = 0.2k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 25 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 3 kgh = 25 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.动量与碰撞困难

一辆 800 kg 的汽车撞上一辆停放的 1500 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 9.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 800 kgm₂ = 1500 kgd = 9.5 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水从一个大型敞口水箱经直径 20 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 1 m，流量系数为 0.65。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 20 mmh = 1 mC_d = 0.65g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

一根内径 40 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 2 m，出口（通大气）低于水面 4 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求 C 点的绝对压强 p_C。大气压为 101.3 kPa。

d = 40 mmz_C = +2 mz₂ = −4 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 20 L 的容器中装有 420 g Ar，温度为 5 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 420 gM = 39.95 g/molV = 20 LT = 5 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求Ar在 600 kPa 和 130 °C 下的密度 ρ。

M = 39.95 g/molP = 600 kPaT = 130 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 525 °C 的热源吸收 1200 kJ 热量，放出 478 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 525 °CQ_H = 1200 kJQ_L = 478 kJ

T_L = °C

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 -10 °C 时将房屋保持在 22 °C，向房屋提供 4 kW 热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 22 °CT_L = -10 °CQ̇_H = 4 kW

COP_max =

19.波、声与光学中等

频率为 1200 Hz、速度为 30 m/s 的声源与速度为 15 m/s 的观察者相向运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 1200 Hzv = 343 m/sv_s = 30 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 50 cm 的凹面镜前 20 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 20 cmR = 50 cm

m =

3溶液

1.运动学

答案: v = 87.75 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·3.5·1100) = 87.75 m/s

答案

v = 87.75 m/s

(315.9 km/h)

2.运动学

答案: t = 2.602 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 7·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 7·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (7 + √(7² + 2·9.81·15))/9.81 = 2.602 s

答案

t = 2.602 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.051 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.3·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.2298) = 4.051 m/s²

答案

a = 4.051 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 14.17 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 7.357)/4.5 = 2.725 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2.5·2.725 + 7.357 = 14.17 N

答案

T = 14.17 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 38.38 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·115/sin 50°) = 38.38 m/s

答案

v₀ = 38.38 m/s

6.抛体运动

答案: x = 39.23 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 12.05 m/s, v_y = 17.2 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

4 = 17.2·t − 4.905·t²

t = (17.2 + √(17.2² − 2·9.81·4))/9.81 = 3.257 s

水平距离

x = v_x·t = 12.05·3.257 = 39.23 m

答案

x = 39.23 m

7.功和能

答案: P = 16.95 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 800·9.81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 4° = 547.4 N

F = 547.4 + 300 = 847.4 N

功率

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 847.4·20 = 16949 W = 16.95 kW

答案

P = 16.95 kW

8.功和能

答案: x = 22.15 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(3.5 − 0.2·5) = 24.53 J

最大压缩量

½kx² = 24.53 → x = √(2·24.53/1000) = 0.2215 m = 22.15 cm

答案

x = 22.15 cm

9.动量与碰撞

答案: v = 334.4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.25) = 2.215 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 3)·2.215/0.02 = 334.4 m/s

答案

v = 334.4 m/s

10.动量与碰撞

答案: v₁ = 32.84 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·9.5) = 11.42 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2300·11.42/800 = 32.84 m/s

答案

v₁ = 32.84 m/s

(118.2 km/h)

11.静水压力

答案: F = 206 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·6 = 206 kN

答案

F = 206 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 3.25 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·3 = 88.29 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 2.25/(3·3) = 3.25 m

答案

y_cp = 3.25 m

13.连续性和伯努利

答案: Q = 0.9045 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.65·0.0003142·4.429 = 0.0009045 m³/s = 0.9045 L/s

答案

Q = 0.9045 L/s

14.连续性和伯努利

答案: p_C = 42.44 kPa

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·4) = √(2·9.81·4) = 8.859 m/s

从液面到 C 的伯努利方程

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(8.859²/2 + 9.81·2)/1000 = 101.3 − 58.86 = 42.44 kPa

答案

p_C = 42.44 kPa

如果该压强降到水的饱和蒸汽压，虹吸就会停止工作。

15.理想气体定律

答案: P = 1216 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 420/39.95 = 10.51 mol

T = 5 + 273.15 = 278.1 K

压强

P = nRT/V = 10.51·8.314·278.1/0.02 = 1216 kPa

答案

P = 1216 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 7.151 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 130 + 273.15 = 403.1 K

密度

ρ = 600·39.95/(8.314·403.1) = 7.151 kg/m³

答案

ρ = 7.151 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: T_L = 44.78 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 525 + 273.15 = 798.1 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 798.1·478/1200 = 317.9 K = 44.78 °C

答案

T_L = 44.78 °C

18.热机和制冷机

答案: COP_max = 9.223

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295.1/(295.1 − 263.1) = 9.223

答案

COP_max = 9.223

19.波、声与光学

答案: f′ = 1373 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1200·(343 + 15)/(343 − 30)

f′ = 1373 Hz

答案

f′ = 1373 Hz

20.波、声与光学

答案: m = 5

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 25 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/20

d_i = −100 cm

放大率

m = −(−100)/20 = 5

答案

m = 5

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