大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 2 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1100 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 2 m/s²s = 1100 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 8 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 8 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 6.5 kg 和 1 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 1 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 9.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 3 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 25° 的角度抛出，落在 140 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 25°R = 140 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 34 m/sθ = 45°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一个 1 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 6 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 1 kgθ = 45°μ = 0.1d = 6 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 2.5 mL = 2 mμ = 0.25k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一个以 22 m/s 水平运动的 11 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。3 kg 的碎片以 69 m/s 继续向前运动。求 8 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 11 kgu = 22 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 69 m/sm₂ = 8 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 21 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.35 kgv_in = 21 m/sv_out = 10 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 380 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 380 kPav₁ = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 20 kPa。水从水面以下 2 m 处直径 25 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 20 kPa (表压)h = 2 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

容积为 5 L 的容器中装有 280 g CH₄，温度为 85 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 280 gM = 16.04 g/molV = 5 LT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求He在 250 kPa 和 200 °C 下的密度 ρ。

M = 4.003 g/molP = 250 kPaT = 200 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 375 °C 的热源吸收 2400 kJ 热量，放出 1160 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 375 °CQ_H = 2400 kJQ_L = 1160 kJ

T_L = °C

18.热机和制冷机困难

一台冰箱在 32 °C 的厨房中将冷藏室保持在 -10 °C，以 5 kW 从冷藏室移走热量。求可能的最高性能系数 COP_max。

T_H = 32 °CT_L = -10 °CQ̇_L = 5 kW

COP_max =

19.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 15 cm 的薄会聚透镜前 25 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 25 cmf = 15 cm

d_i = cm

20.波、声与光学困难

一个衍射光栅每毫米有 100 条刻线。波长为 450 nm 的光垂直照射在它上面。能看到的最高级亮极大是多少级 m_max？

N = 100 mm⁻¹λ = 450 nm

m_max =

3溶液

1.运动学

答案: v = 66.33 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·2·1100) = 66.33 m/s

答案

v = 66.33 m/s

(238.8 km/h)

2.运动学

答案: t = 2.46 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−10 = 8·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 8·t − 10 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (8 + √(8² + 2·9.81·10))/9.81 = 2.46 s

答案

t = 2.46 s

3.牛顿定律

答案: a = 7.194 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (6.5 − 1)·9.81/(6.5 + 1) = 7.194 m/s²

答案

a = 7.194 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 0.4905 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 23.3)/12.5 = 0.4905 m/s²

答案

a = 0.4905 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 42.34 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·140/sin 50°) = 42.34 m/s

答案

v₀ = 42.34 m/s

6.抛体运动

答案: t = 6.6 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 45° = 24.04 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 45° = 24.04 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 24.04·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (24.04 + √(578 + 1079))/9.81 = 6.6 s

答案

t = 6.6 s

7.功和能

答案: W_f = 4.162 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.7071 = 6.937 N

F = μN = 0.1·6.937 = 0.6937 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 0.6937·6 = 4.162 J

答案

W_f = 4.162 J

8.功和能

答案: x = 32.35 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(2.5 − 0.25·2) = 78.48 J

最大压缩量

½kx² = 78.48 → x = √(2·78.48/1500) = 0.3235 m = 32.35 cm

答案

x = 32.35 cm

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = 4.375 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 11·22 = 242 kg·m/s

碰撞后的动量

242 = 3·69 + 8·v′₂

v′₂ = (242 − 207)/8 = 4.375 m/s

答案

v′₂ = 4.375 m/s

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 542.5 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(10 + 21) = 10.85 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 10.85/0.02 = 542.5 N

答案

F_avg = 542.5 N

11.静水压力

答案: F = 220.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·9 = 220.7 kN

答案

F = 220.7 kN

12.静水压力

答案: F = 202.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·7.5 = 202.3 kN

答案

F = 202.3 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₂ = 333.1 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(150/75)² = 10 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 10²)/1000 = −46.88 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 380 + (−46.88) = 333.1 kPa

答案

p₂ = 333.1 kPa

14.连续性和伯努利

答案: Q = 4.37 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(20000/1000 + 9.81·2)) = 8.902 m/s

流量

Q = A·v = 0.0004909·8.902 = 0.00437 m³/s = 4.37 L/s

答案

Q = 4.37 L/s

15.理想气体定律

答案: P = 10396 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 280/16.04 = 17.46 mol

T = 85 + 273.15 = 358.1 K

压强

P = nRT/V = 17.46·8.314·358.1/0.005 = 10396 kPa

答案

P = 10396 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 0.2544 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 200 + 273.15 = 473.1 K

密度

ρ = 250·4.003/(8.314·473.1) = 0.2544 kg/m³

答案

ρ = 0.2544 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: T_L = 40.12 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 375 + 273.15 = 648.1 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 648.1·1160/2400 = 313.3 K = 40.12 °C

答案

T_L = 40.12 °C

18.热机和制冷机

答案: COP_max = 6.265

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 32 + 273.15 = 305.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可能的最佳 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 263.1/(305.1 − 263.1) = 6.265

答案

COP_max = 6.265

19.波、声与光学

答案: d_i = 37.5 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/25

d_i = 37.5 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 37.5 cm

20.波、声与光学

答案: m_max = 22

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/100 mm = 10 µm

最高级次

m ≤ d/λ = 10 µm/0.45 µm = 22.22 → m_max = 22

答案

m_max = 22

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