大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 3.5 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1500 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 3.5 m/s²s = 1500 m

v = m/s

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2.5 m/s² 加速 8 s，然后匀速行驶 29 s，最后以 2 m/s² 制动直到停止。求总行驶时间 t。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 8 st₂ = 29 sa₃ = −2 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 3.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 1.6 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 3.5 m/sd = 1.6 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 6.5 m/s 的速度开始沿 35° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 6.5 m/sθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 55° 的角度抛出，落在 140 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 55°R = 140 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶部以 27 m/s、与水平方向成 25° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 27 m/sθ = 25°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.功和能中等

一辆 1200 kg 的汽车以恒定的 72 km/h 驶上 3° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 750 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1200 kgθ = 3°F_r = 750 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.功和能困难

在 30° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 3 kg 的物块被压缩 10 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.1。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 3 kgk = 3000 N/mx = 10 cmθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

9.动量与碰撞中等

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 12 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 4 kgh = 12 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 15 m/s 撞到墙上，并以 12 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.6 kgv_in = 15 m/sv_out = 12 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水管中的皮托静压管测得总压与静压之差为 34 kPa。求测头处的水流速度 v。

p₀ − p = 34 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.连续性和伯努利困难

一根内径 50 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 2 m，出口（通大气）低于水面 3 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q。

d = 50 mmz_C = +2 mz₂ = −3 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想气体定律中等

容积为 10 L 的容器中装有 70 g N₂，温度为 65 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 70 gM = 28.01 g/molV = 10 LT = 65 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

一定量的CH₄从 350 kPa、2 L、20 °C 变化到 450 kPa 和 50 °C。求新的体积 V₂。

P₁ = 350 kPaV₁ = 2 LT₁ = 20 °CP₂ = 450 kPaT₂ = 50 °C

V₂ = L

17.热机和制冷机中等

一台可逆（卡诺）热机每个循环从 400 °C 的热源吸收 4900 kJ 热量，放出 2061 kJ。求冷源的温度 T_L，以 °C 表示。

T_H = 400 °CQ_H = 4900 kJQ_L = 2061 kJ

T_L = °C

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 0 °C 时将房屋保持在 20 °C，向房屋提供 15 kW 热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 20 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 15 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

观察者以 5 m/s 的速度远离频率为 300 Hz 的静止声源运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 300 Hzv = 343 m/sv_o = 5 m/s

f′ = Hz

20.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 40 cm 的凸面镜前 5 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 5 cmR = 40 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: v = 102.5 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·3.5·1500) = 102.5 m/s

答案

v = 102.5 m/s

(368.9 km/h)

2.运动学

答案: t = 47 s

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·8 = 20 m/s

制动时间

t₃ = v/a₃ = 20/2 = 10 s

总时间

t = 8 + 29 + 10 = 47 s

答案

t = 47 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.3902

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 3.5²/(2·1.6) = 3.828 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3.828/9.81 = 0.3902

答案

μ = 0.3902

4.牛顿定律

答案: d = 2.628 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 35° + 0.3·cos 35°) = 8.038 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 6.5²/(2·8.038) = 2.628 m

答案

d = 2.628 m

5.抛体运动

答案: v₀ = 38.23 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·140/sin 110°) = 38.23 m/s

答案

v₀ = 38.23 m/s

6.抛体运动

答案: H = 46.64 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 27·sin 25° = 11.41 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 11.41²/(2·9.81) = 6.636 m

离地面的高度

H = 40 + 6.636 = 46.64 m

答案

H = 46.64 m

7.功和能

答案: P = 27.32 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1200·9.81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 3° = 616.1 N

F = 616.1 + 750 = 1366 N

功率

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 1366·20 = 27322 W = 27.32 kW

答案

P = 27.32 kW

8.功和能

答案: d = 0.8689 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·3000·0.1² = 15 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 15/(29.43·(0.5 + 0.1·0.866)) = 0.8689 m

答案

d = 0.8689 m

9.动量与碰撞

答案: v = 615.3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.12) = 1.534 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 4)·1.534/0.01 = 615.3 m/s

答案

v = 615.3 m/s

10.动量与碰撞

答案: F_avg = 810 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(12 + 15) = 16.2 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 16.2/0.02 = 810 N

答案

F_avg = 810 N

11.静水压力

答案: F = 104.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.25·2.5 = 104.2 kN

答案

F = 104.2 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 1.556 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1.5·3 = 45.25 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 0.25/(1.5·3) = 1.556 m

答案

y_cp = 1.556 m

13.连续性和伯努利

答案: v = 8.246 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·34000/1000) = 8.246 m/s

答案

v = 8.246 m/s

14.连续性和伯努利

答案: Q = 15.06 L/s

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·3) = √(2·9.81·3) = 7.672 m/s

流量

Q = A·v = 0.001963·7.672 = 0.01506 m³/s = 15.06 L/s

答案

Q = 15.06 L/s

15.理想气体定律

答案: P = 702.6 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 70/28.01 = 2.499 mol

T = 65 + 273.15 = 338.1 K

压强

P = nRT/V = 2.499·8.314·338.1/0.01 = 702.6 kPa

答案

P = 702.6 kPa

16.理想气体定律

答案: V₂ = 1.715 L

联合气体定律：对一定量的理想气体，P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

绝对温度

T₁ = 293.1 K, T₂ = 323.1 K

联合气体定律

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(350/450)·(323.1/293.1) = 1.715 L

答案

V₂ = 1.715 L

17.热机和制冷机

答案: T_L = 9.985 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

热源的热力学温度

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

可逆循环的热量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 673.1·2061/4900 = 283.1 K = 9.985 °C

答案

T_L = 9.985 °C

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 1.023 kW

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 273.1) = 14.66

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 15/14.66 = 1.023 kW

答案

Ẇ_min = 1.023 kW

19.波、声与光学

答案: f′ = 295.6 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 300·(343 − 5)/(343 + 0)

f′ = 295.6 Hz

答案

f′ = 295.6 Hz

20.波、声与光学

答案: d_i = −4 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = −R/2 = −20 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−20) − 1/5

d_i = −4 cm

光线图

镜后的虚像

答案

d_i = −4 cm

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