大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 180 km/h 的速度，可用跑道长 1800 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 180 km/hs = 1800 m

a = m/s²

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 19 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 19 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

质量为 9.5 kg 和 7 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 7 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 3 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 40° 的角度抛出，落在 125 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 40°R = 125 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 29 m/sθ = 35°h = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.功和能中等

一个 2 kg 的球挂在长 0.8 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 20°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 2 kgL = 0.8 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = N

8.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 1 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 5 kgh = 1 mL = 2 mμ = 0.15k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一个以 15 m/s 水平运动的 14 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。10 kg 的碎片以 35 m/s 继续向前运动。求 4 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 14 kgu = 15 m/sm₁ = 10 kgv′₁ = 35 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

10.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 9 m/s 撞到墙上，并以 11 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.15 kgv_in = 9 m/sv_out = 11 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

11.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 0.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 150 mm，喉部直径 75 mm。入口处的压强比喉部高 45 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ − p₂ = 45 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 40 mm，同时升高 2 m。截面 1 处压强为 340 kPa，流速为 1.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 340 kPav₁ = 1.5 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想气体定律中等

容积为 50 L 的容器中装有 320 g CO₂，温度为 100 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 320 gM = 44.01 g/molV = 50 LT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求O₂在 200 kPa 和 70 °C 下的密度 ρ。

M = 32 g/molP = 200 kPaT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台可逆制冷机通过排出 6 kW 的热量使冷库保持在 -5 °C，并向 20 °C 的环境放热。求它放热的速率 Q̇_H。

T_L = -5 °CT_H = 20 °CQ̇_L = 6 kW

Q̇_H = kW

18.热机和制冷机困难

一台卡诺热机从 1000 °C 的热源吸收 150 kW 热量，并向 27 °C 的环境放热。它的全部功用于驱动一台卡诺制冷机，该制冷机从 -20 °C 的冷冻室排出热量，也向 27 °C 的环境放热。求从冷冻室排出热量的速率 Q̇_L。

T_H = 1000 °CT₀ = 27 °CT_L = -20 °CQ̇_H = 150 kW

Q̇_L = kW

19.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 25 cm 的薄发散透镜前 40 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 40 cmf = −25 cm

d_i = cm

20.波、声与光学困难

波长为 550 nm 的光垂直照射在每毫米 400 条刻线的光栅上。求第 3 级极大的角度 θ₃。

N = 400 mm⁻¹λ = 550 nmm = 3

θ₃ = °

3溶液

1.运动学

答案: a = 0.6944 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 180/3.6 = 50 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 50²/(2·1800) = 0.6944 m/s²

答案

a = 0.6944 m/s²

2.运动学

答案: h_max = 43.4 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 19²/(2·9.81) = 18.4 m

离地面的高度

h_max = 25 + 18.4 = 43.4 m

答案

h_max = 43.4 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.486 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (9.5 − 7)·9.81/(9.5 + 7) = 1.486 m/s²

答案

a = 1.486 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 20.14 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 0)/9.5 = 3.098 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6.5·3.098 + 0 = 20.14 N

答案

T = 20.14 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 35.29 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·125/sin 80°) = 35.29 m/s

答案

v₀ = 35.29 m/s

6.抛体运动

答案: t = 4.694 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 35° = 23.76 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 35° = 16.63 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 16.63·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16.63 + √(276.7 + 588.6))/9.81 = 4.694 s

答案

t = 4.694 s

7.功和能

答案: T = 21.99 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.8·(1 − cos 20°) = 0.9466 m²/s²

最低点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

T = mg + mv²/L = 19.62 + 2·0.9466/0.8 = 21.99 N

答案

T = 21.99 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 21.99 N。

8.功和能

答案: v = 3.706 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(1 − 0.15·2) = 34.34 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·0.7) = 3.706 m/s

答案

v = 3.706 m/s

9.动量与碰撞

答案: v′₂ = −35 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 14·15 = 210 kg·m/s

碰撞后的动量

210 = 10·35 + 4·v′₂

v′₂ = (210 − 350)/4 = −35 m/s

答案

v′₂ = −35 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

10.动量与碰撞

答案: J = 3 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(11 + 9) = 3 N·s

答案

J = 3 N·s

11.静水压力

答案: F = 103 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN

答案

F = 103 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 1.722 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·1.5·2 = 25.9 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0.6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 0.6667/(1.5·2) = 1.722 m

答案

y_cp = 1.722 m

13.连续性和伯努利

答案: Q = 43.29 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(75/150)² = 0.25·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·45000/(1000·(1 − 0.0625))) = 9.798 m/s

v₁ = 2.449 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.004418·9.798 = 0.04329 m³/s = 43.29 L/s

答案

Q = 43.29 L/s

14.连续性和伯努利

答案: p₂ = 277.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(100/40)² = 9.375 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 9.375²)/1000 = −42.82 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 340 + (−42.82) − 19.62 = 277.6 kPa

答案

p₂ = 277.6 kPa

15.理想气体定律

答案: P = 451.2 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 320/44.01 = 7.271 mol

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

压强

P = nRT/V = 7.271·8.314·373.1/0.05 = 451.2 kPa

答案

P = 451.2 kPa

16.理想气体定律

答案: ρ = 2.243 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

密度

ρ = 200·32/(8.314·343.1) = 2.243 kg/m³

答案

ρ = 2.243 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: Q̇_H = 6.559 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

绝对温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

可逆循环的热量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 6·293.1/268.1 = 6.559 kW

答案

Q̇_H = 6.559 kW

输入功率：Ẇ = 0.5594 kW。

18.热机和制冷机

答案: Q̇_L = 617.5 kW

绝对温度

T_H = 1000 + 273.15 = 1273 K

T₀ = 27 + 273.15 = 300.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

热机的功

η = 1 − 300.1/1273 = 0.7642

Ẇ = 0.7642·150 = 114.6 kW

制冷机排出的热量

COP_R = 253.1/(300.1 − 253.1) = 5.386

Q̇_L = 5.386·114.6 = 617.5 kW

答案

Q̇_L = 617.5 kW

19.波、声与光学

答案: d_i = −15.38 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−25) − 1/40

d_i = −15.38 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

d_i = −15.38 cm

20.波、声与光学

答案: θ₃ = 41.3 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/400 mm = 2.5 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 3·550 × 10⁻⁹/(2.5 × 10⁻⁶) = 0.66

θ = 41.3°

答案

θ₃ = 41.3°

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