大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 280 km/h 的速度，可用跑道长 1700 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 280 km/hs = 1700 m

a = m/s²

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 16 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 16 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 7 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 7 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6 kgm₂ = 3 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 16 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 13 m/sθ = 35°h = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 4 m，动摩擦因数为 0.4。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 35°μ = 0.4d = 4 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.功和能困难

一个 3 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.15）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 5 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 2 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 3 kgm₂ = 5 kgμ = 0.15d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.动量与碰撞中等

一辆以 20 m/s 行驶的 1100 kg 汽车撞上一辆静止的 800 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 1100 kgv₁ = 20 m/sm₂ = 800 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

10.动量与碰撞困难

一辆 1400 kg 的汽车撞上一辆停放的 1400 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 21 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1400 kgm₂ = 1400 kgd = 21 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.连续性和伯努利中等

水以 7 L/s 流过一根水平管道，管径从 80 mm 缩小到 40 mm。窄段的压强为 270 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 7 L/sd₁ = 80 mmd₂ = 40 mmp₂ = 270 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.连续性和伯努利困难

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 100 mm，表压为 60 kPa。喷嘴出口直径为 40 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d₁ = 100 mmp₁ = 60 kPa (表压)d₂ = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.理想气体定律中等

30 g CH₄在 500 kPa 和 20 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 30 gM = 16.04 g/molP = 500 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求CH₄在 800 kPa 和 190 °C 下的密度 ρ。

M = 16.04 g/molP = 800 kPaT = 190 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 500 °C 的高温热源和 35 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 500 °CT_L = 35 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台热泵在室外 -5 °C 时将房屋保持在 20 °C，向房屋提供 11 kW 热量。求最小输入功率 Ẇ_min。

T_H = 20 °CT_L = -5 °CQ̇_H = 11 kW

Ẇ_min = kW

19.波、声与光学中等

两端开口的管长 0.8 m。声速为 343 m/s。求其第 4 次谐波的频率 f₄。

v = 343 m/sn = 4L = 0.8 m

f₄ = Hz

20.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.55，包层 n₂ = 1.45。求从空气射入光纤端面且仍能通过全反射被导引的光线与光纤轴所成的最大角 θ_a。

n₁ = 1.55n₂ = 1.45n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.779 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 280/3.6 = 77.78 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 77.78²/(2·1700) = 1.779 m/s²

答案

a = 1.779 m/s²

2.运动学

答案: t = 4.92 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 16·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 16·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (16 + √(16² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.92 s

答案

t = 4.92 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.055 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.1·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.0866) = 4.055 m/s²

答案

a = 4.055 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 1.308 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 17.66)/9 = 1.308 m/s²

答案

a = 1.308 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 1.116 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 20° = 15.04 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 20° = 5.472 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·5.472/9.81 = 1.116 s

答案

t = 1.116 s

6.抛体运动

答案: x = 31.07 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 35° = 10.65 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 35° = 7.456 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 20 + 7.456·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.456 + √(55.6 + 392.4))/9.81 = 2.918 s

水平距离

x = v_x·t = 10.65·2.918 = 31.07 m

答案

x = 31.07 m

7.功和能

答案: W_f = 32.14 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.8192 = 20.09 N

F = μN = 0.4·20.09 = 8.036 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 8.036·4 = 32.14 J

答案

W_f = 32.14 J

8.功和能

答案: v = 4.724 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 49.05·2 = 98.1 J

μ·m₁g·d = 0.15·29.43·2 = 8.829 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 89.27 → v = √(2·89.27/8) = 4.724 m/s

答案

v = 4.724 m/s

9.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 42.11 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1100·20/1900 = 11.58 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1100·20² = 220000 J

K_after = ½·1900·11.58² = 127368 J

损失的比例

ΔK/K = 92632/220000 = 42.11 %

答案

ΔK/K = 42.11 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: v₁ = 31.45 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·21) = 15.72 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·15.72/1400 = 31.45 m/s

答案

v₁ = 31.45 m/s

(113.2 km/h)

11.静水压力

答案: F = 294.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5·6 = 294.3 kN

答案

F = 294.3 kN

12.静水压力

答案: F = 27.59 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.25·2.25 = 27.59 kN

答案

F = 27.59 kN

13.连续性和伯努利

答案: p₁ = 284.5 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.007/0.005027 = 1.393 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.007/0.001257 = 5.57 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 270 + ½·1000·(5.57² − 1.393²)/1000 = 270 + 14.55 = 284.5 kPa

答案

p₁ = 284.5 kPa

14.连续性和伯努利

答案: H = 6.277 m

出口流速

β = 40/100 = 0.4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·60000/(1000·0.9744)) = 11.1 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v₂²/(2g) = 11.1²/(2·9.81) = 6.277 m

答案

H = 6.277 m

15.理想气体定律

答案: V = 9.117 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 30/16.04 = 1.87 mol

T = 20 + 273.15 = 293.1 K

体积

V = nRT/P = 1.87·8.314·293.1/500 = 9.117 L

答案

V = 9.117 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 3.332 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 190 + 273.15 = 463.1 K

密度

ρ = 800·16.04/(8.314·463.1) = 3.332 kg/m³

答案

ρ = 3.332 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_max = 60.14 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308.1/773.1 = 60.14 %

答案

η_max = 60.14 %

18.热机和制冷机

答案: Ẇ_min = 0.9381 kW

绝对温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

可能的最佳 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 268.1) = 11.73

最小功率

可逆机器所需的功最少，其 COP 最高。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 11/11.73 = 0.9381 kW

答案

Ẇ_min = 0.9381 kW

19.波、声与光学

答案: f₄ = 857.5 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.8/4 = 0.4 m

频率

f = v/λ = 343/0.4 = 857.5 Hz

答案

f₄ = 857.5 Hz

20.波、声与光学

答案: θ_a = 33.21 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

包层处的临界角

sin θc = 1.45/1.55 = 0.9355 → θc = 69.31°

数值孔径

NA = √(1.55² − 1.45²) = 0.5477

接收角

θ_a = arcsin(0.5477) = 33.21°

答案

θ_a = 33.21°

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