大学物理：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

理想气体定律

理想气体定律: pV = nRT
气体常数: R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物质的量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

热机和制冷机

效率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
卡诺效率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
制冷机 COP: COP_R = Q_C/W
热泵 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
能量衡算: Q_H = W + Q_C

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 60 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.5 s，之后汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 60 km/ht_r = 0.5 sa = −8 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 20 m 高的屋顶边缘以 12 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 12 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 7 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 7 kgθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 2.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 8.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 8.5 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 24 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 25 m/sθ = 40°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 100 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.4。求制动距离 d。

v = 100 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²

d = m

8.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 5 kgh = 5 mL = 3 mμ = 0.25k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.动量与碰撞中等

一辆以 6 m/s 行驶的 1600 kg 汽车撞上一辆静止的 1300 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1600 kgv₁ = 6 m/sm₂ = 1300 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.动量与碰撞困难

一辆 900 kg 的汽车撞上一辆停放的 1200 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 10 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.75。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 900 kgm₂ = 1200 kgd = 10 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.连续性和伯努利中等

水管中的皮托静压管测得总压与静压之差为 19 kPa。求测头处的水流速度 v。

p₀ − p = 19 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.连续性和伯努利困难

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 75 mm，表压为 50 kPa。喷嘴出口直径为 20 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d₁ = 75 mmp₁ = 50 kPa (表压)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.理想气体定律中等

160 g Ar在 500 kPa 和 100 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 160 gM = 39.95 g/molP = 500 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想气体定律困难

按理想气体处理，求CH₄在 650 kPa 和 180 °C 下的密度 ρ。

M = 16.04 g/molP = 650 kPaT = 180 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.热机和制冷机中等

一台热机在 475 °C 的高温热源和 10 °C 的低温热源之间工作。求可能的最高热效率 η_max。

T_H = 475 °CT_L = 10 °C

η_max = %

18.热机和制冷机困难

一台热机每个循环从 850 °C 的热源吸收 2200 kJ 热量，产生 814 kJ 的功，其余热量排向 20 °C 的冷源。求每个循环产生的总熵 S_gen。

T_H = 850 °CT_L = 20 °CQ_H = 2200 kJW = 814 kJ

S_gen = kJ/K

19.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 1 m 处的声级为 75 dB。忽略吸收和反射，求 4 m 处的声级 β₂。

β₁ = 75 dBr₁ = 1 mr₂ = 4 m

β₂ = dB

20.波、声与光学困难

静止的传感器向以 30 m/s 的速度靠近的汽车发射 40 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 f_b（声速为 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 25.69 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 16.67·0.5 = 8.333 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·8) = 17.36 m

合计

d = 8.333 + 17.36 = 25.69 m

答案

d = 25.69 m

2.运动学

答案: t = 3.584 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−20 = 12·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 12·t − 20 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (12 + √(12² + 2·9.81·20))/9.81 = 3.584 s

答案

t = 3.584 s

3.牛顿定律

答案: a = 2.781 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.25·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2165) = 2.781 m/s²

答案

a = 2.781 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 26.96 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 83.39 N

m₁·g·sin θ = 10.36 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (83.39 − 10.36 − 0)/11 = 6.638 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 8.5·(9.81 − 6.638) = 26.96 N

答案

T = 26.96 N

5.抛体运动

答案: t = 4.008 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 55° = 13.77 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 55° = 19.66 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·19.66/9.81 = 4.008 s

答案

t = 4.008 s

6.抛体运动

答案: x = 97.32 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 40° = 19.15 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 40° = 16.07 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 16.07·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16.07 + √(258.2 + 882.9))/9.81 = 5.082 s

水平距离

x = v_x·t = 19.15·5.082 = 97.32 m

答案

x = 97.32 m

7.功和能

答案: d = 98.32 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 100/3.6 = 27.78 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27.78²/(2·0.4·9.81) = 98.32 m

答案

d = 98.32 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

8.功和能

答案: x = 52.72 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(5 − 0.25·3) = 208.5 J

最大压缩量

½kx² = 208.5 → x = √(2·208.5/1500) = 0.5272 m = 52.72 cm

答案

x = 52.72 cm

9.动量与碰撞

答案: ΔK = 12910 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·6/2900 = 3.31 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1600·6² = 28800 J

K_after = ½·2900·3.31² = 15890 J

损失的能量

ΔK = 28800 − 15890 = 12910 J

答案

ΔK = 12910 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

10.动量与碰撞

答案: v₁ = 28.3 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·10) = 12.13 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2100·12.13/900 = 28.3 m/s

答案

v₁ = 28.3 m/s

(101.9 km/h)

11.静水压力

答案: F = 137.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·4 = 137.3 kN

答案

F = 137.3 kN

12.静水压力

答案: y_cp = 3.308 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3.25·3 = 120.5 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.25 + 0.5625/(3.25·3) = 3.308 m

答案

y_cp = 3.308 m

13.连续性和伯努利

答案: v = 6.164 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·19000/1000) = 6.164 m/s

答案

v = 6.164 m/s

14.连续性和伯努利

答案: H = 5.123 m

出口流速

β = 20/75 = 0.2667

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·50000/(1000·0.9949)) = 10.03 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v₂²/(2g) = 10.03²/(2·9.81) = 5.123 m

答案

H = 5.123 m

15.理想气体定律

答案: V = 24.85 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 160/39.95 = 4.005 mol

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

体积

V = nRT/P = 4.005·8.314·373.1/500 = 24.85 L

答案

V = 24.85 L

16.理想气体定律

答案: ρ = 2.767 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 180 + 273.15 = 453.1 K

密度

ρ = 650·16.04/(8.314·453.1) = 2.767 kg/m³

答案

ρ = 2.767 kg/m³

17.热机和制冷机

答案: η_max = 62.15 %

第二定律的限制：在绝对温度为 T_H 和 T_L 的热源之间工作的任何循环都不能超过可逆（卡诺）循环：η_max = 1 − T_L/T_H，COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)，COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。能量总是守恒：Q_H = W + Q_L。

绝对温度

T_H = 475 + 273.15 = 748.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

卡诺效率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283.1/748.1 = 62.15 %

答案

η_max = 62.15 %

18.热机和制冷机

答案: S_gen = 2.769 kJ/K

熵产：在一个完整循环中，工质没有净熵变。高温热源失去 Q_H/T_H，低温热源得到 Q_L/T_L。两者之和就是熵产，可逆循环为零，所有实际循环都为正。

排放的热量

Q_L = Q_H − W = 2200 − 814 = 1386 kJ

绝对温度

T_H = 850 + 273.15 = 1123 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

热源的熵变

ΔS_H = −2200/1123 = −1.959 kJ/K

ΔS_L = 1386/293.1 = 4.728 kJ/K

S_gen = 4.728 − 1.959 = 2.769 kJ/K

答案

S_gen = 2.769 kJ/K

S_gen > 0，所以该热机是可能的，但不可逆。

19.波、声与光学

答案: β₂ = 62.96 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (1/4)² = 0.0625

新的声级

β₂ = 75 + 10·log₁₀(0.0625) = 62.96 dB

答案

β₂ = 62.96 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

20.波、声与光学

答案: f_b = 7668 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 40000·(343 + 30)/343 = 43499 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 30) = 47668 Hz

拍频

f_b = |f″ − f| = 7668 Hz

答案

f_b = 7668 Hz

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